课程建设组
f高等数学教案
§3
中值定理与导数的应用
§35函数的极值与最大值最小值一函数的极值及其求法函数的极值及其求法极值的定义极值的定义定义设函数fx在区间ab内有定义x0∈ab如果在x0的某一去心邻域内有fxfx0则称fx0是函数fx的一个极大值如果在x0的某一去心邻域内有fxfx0则称fx0是函数fx的一个极小值设函数fx在点x0的某邻域Ux0内有定义如果在去心邻域Ux0内有fxfx0或fxfx0则称fx0是函数fx的一个极大值或极小值函数的极大值与极小值统称为函数的极值使函数取得极值的点称为极值点函数的极大值和极小值概念是局部性的如果fx0是函数fx的一个极大值那只是就x0附近的一个局部范围来说fx0是fx的一个最大值如果就fx的整个定义域来说fx0不一定是最大值关于极小值也类似极值与水平切线的关系极值与水平切线的关系在函数取得极值处曲线上的切线是水平的但曲线上有水平切线的地方函数不一定取得极值必要条件设函数fx在点x0处可导且在x0处取得极值那么这函数在x0处的导定理1必要条件必要条件数为零即f′x00证为确定起见假定fx0是极大值极小值的情形可类似地证明根据极大值的定义在x0的某个去心邻域内对于任何点xfxfx0均成立于是当xx0时fxfx00xx0因此f′x0lim
x→x0
fxfx0≥0xx0fxfx00xx0
当xx0时
因此
f′x0lim
x→x0
fxfx0≤0xx0
从而得到f′x00简要证明简要证明假定fx0是极大值根据极大值的定义在x0的某个去心邻域内有fxfx0于是fxfx0′f′x0fx0lim≥0xx0x→x0同时
′f′x0fx0lim
x→x0
fxfx0≤0xx0
从而得到f′x00
重庆三峡学院高等数学课程建设组
f高等数学教案
§3
中值定理与导数的应用
驻点使导数为零的点即方程f′x0的实根叫函数fx的驻点定理1就是说可导函数fx的极值点必定是函数的驻点但的过来函数fx的驻点却不一定是极值点考察函数fxx3在x0处的情况定理2第一种充分条件第一种充分条件设函数fx在点x0的一个邻域内连续在x0的左右邻域内可导定理2第一种充分条件1如果在x0的某一左邻域内f′x0在x0的某一右邻域内f′x0那么函数fx在x0处取得极大值2如果在x0的某一左邻域内f′x0在x0的某一右邻域内f′x0那么函数fx在x0处取得极小值3如果在x0的某一邻域内r