上任意一点的切线的下方则称该曲线在区间I上是凸的凹凸性的判定凹凸性的判定定理设fx在ab上连续在ab内具有一阶和二阶导数那么1若在ab内f′′x0则fx在ab上的图形是凹的2若在ab内f′′x0则fx在ab上的图形是凸的简要证明只证1设x1x2x1x2∈ab且x1x2记x0由拉格朗日中值公式得
fx1fx0f′ξ1x1x0f′ξ1x1x2x1ξ1x02x2x1x0ξ2x22x2x12x1x22
fx2fx0f′ξ2x2x0f′ξ2
两式相加并应用拉格朗日中值公式得
fx1fx22fx0f′ξ2f′ξ1f′′ξξ2ξ1x2x10ξ1ξξ22
即
fx1fx2xxf12所以fx在ab上的图形是凹的22
拐点连续曲线yfx上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点确定曲线yfx的凹凸区间和拐点的步骤的凹凸区间和拐点的步骤1确定函数yfx的定义域2求出在二阶导数f′′x3求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点4判断或列表判断确定出曲线凹凸区间和拐点注根据具体情况13步有时省略例1判断曲线yl
x的凹凸性解y′1y′′12xx因为在函数yl
x的定义域0∞内
y′′0所以曲线yl
x是凸的
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f高等数学教案
§3
3
中值定理与导数的应用
例2判断曲线yx的凹凸性解y′3x2y′′6x由y′′0得x0因为当x0时y′′0所以曲线在∞0内为凸的因为当x0时y′′0所以曲线在0∞内为凹的例3求曲线y2x33x22x14的拐点解y6x26x12
y′′12x612x12
令y′′0得x12因为当x1时y′′0当x1时y′′0所以点1201是曲线的拐点2222例4求曲线y3x44x31的拐点及凹凸的区间解1函数y3x44x31的定义域为∞∞
2y′12x312x2y′′36x224x36xx23
3解方程y′′0得x10x2234列表判断
∞0f′′xfx∪
001
023∩
2301127
23∞∪
在区间∞0和23∞上曲线是凹的在区间023上曲线是凸的点01和231127是曲线的拐点例5问曲线yx4是否有拐点解y′4x3y′′12x2当x≠0时y′′0在区间∞∞内曲线是凹的因此曲线无拐点例6求曲线y3x的拐点解1函数的定义域为∞∞
2y′
1y′′23x29x3x2
3
3无二阶导数为零的点二阶导数不存在的点为x04判断当x0当y′′0当x0时y′′0因此点00曲线的拐点
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