什么区间怎么办解y′ex1函数yexx1的定义域为∞∞因为在∞0内y′0所以函数yexx1在∞0上单调减少因为在0∞内y′0所以函数yexx1在0∞上单调增加例3讨论函数y3x2的单调性解函数的定义域为∞∞当时函数的导数为
y′32x≠0函数在x0处不可导3x
当x0时函数的导数不存在因为x0时y′0所以函数在∞0上单调减少因为x0时y′0所以函数在0∞上单调增加如果函数在定义区间上连续除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续那么只要用方程f′x0的根及导数不存在的点来划分函数fx的定义区间就能保证f′x在各个部分区间内保持固定的符号因而函数fx在每个部分区间上单调例4确定函数fx2x39x212x3的单调区间
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f高等数学教案
§3
中值定理与导数的应用
解这个函数的定义域为∞∞函数的导数为f′x6x218x126x1x2导数为零的点有两个x11x22列表分析f′xfx∞1122∞
函数fx在区间∞1和2∞内单调增加在区间12上单调减少例5讨论函数yx3的单调性解函数的定义域为∞∞函数的导数为y′3x2除当x0时y′0外在其余各点处均有y′0因此函数yx3在区间∞0及0∞内都是单调增加的从而在整个定义域∞∞内是单调增加的在x0处曲线有一水平切线一般地如果f′x在某区间内的有限个点处为零在其余各点处均为正或负时那么fx在该区间上仍旧是单调增加或单调减少的例6证明当x1时2x31x证明令fx2x31则x
f′x11212xx1xxx
因为当x1时f′x0因此fx在1∞上fx单调增加从而当x1时fxf1由于f10故fxf10即
2x310x
也就是2x31x1x二曲线的凹凸与拐点凹凸性的概念
y
fx1fx22
y
fx1fx22
f

x1x22
f

x1x22
fx1
fx2
x1x22
fx1
fx2
x1x22
O
x1
x2
x
O
x1
x2
x
定义设fx在区间I上连续如果对I上任意两点x1x2恒有
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§3
中值定理与导数的应用
f
x1x2fx1fx222
那么称fx在I上的图形是向上凹的或凹弧如果恒有fx1x2fx1fx222
那么称fx在I上的图形是向上凸的或凸弧定义′定义′设函数yfx在区间I上连续如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方则称该曲线在区间I上是凹的如果函数的曲线位于其r