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x021f
x0xx0
oxx0
2

当x00时的泰勒公式称为麦克劳林公式就是
重庆三峡学院高等数学课程建设组
f高等数学教案
§3
中值定理与导数的应用
fxf0f′0x
f′′02f
0
xxR
x2


fxf0f′0x
f′′02f
0
xxox
2

其中R
x
f

1x
1
f′′02f
0
xx2

由此得近似公式
fx≈f0f′0x
误差估计式变为
R
xMx
1
1
例1写出函数fxex的
阶麦克劳林公式解因为fxf′xf′′xf
xex所以f0f′0f′′0f
01于是并有
θxex1x1x21x
ex
10θ12
1
ex≈1x1x21x
2
θxxR
xex
1ex
1
1
1
这时所产性的误差为
当x1时可得e的近似式ex≈11112
其误差为R
e3
1
1
例2求fxsi
x的
阶麦克劳林公式解因为
f′xcosxf′′xsi
xf′′′xcosx
f4xsi
xf
xsi
x
π2f00f′01f′′00f′′′01f4001m12m1si
xx1x31x5xR2mx352m1
于是
当m123时有近似公式
si
x≈xsi
x≈x1x33si
x≈x1x31x535
重庆三峡学院高等数学课程建设组
f高等数学教案
§3
中值定理与导数的应用
§34函数单调性与曲线的凹凸性一函数单调性的判定法如果函数yfx在ab上单调增加单调减少那么它的图形是一条沿x轴正向上升下降的曲线这时曲线的各点处的切线斜率是非负的是非正的即y′f′x≥0y′f′x≤0由此可见函数的单调性与导数的符号有着密切的关系反过来能否用导数的符号来判定函数的单调性呢定理1函数单调性的判定法设函数yfx在ab上连续在ab内可导1如果在ab内f′x0那么函数yfx在ab上单调增加2如果在ab内f′x0那么函数yfx在ab上单调减少证明只证1在ab上任取两点x1x2x1x2应用拉格朗日中值定理得到fx2fx1f′ξx2x1x1ξx2由于在上式中x2x10因此如果在ab内导数f′x保持正号即f′x0那么也有f′ξ0于是fx2fx1f′ξx2x10即fx1fx2这函数yfx在ab上单调增加注判定法中的闭区间可换成其他各种区间例1判定函数yxsi
x在02π上的单调性解因为在02π内y′1cosx0所以由判定法可知函数yxcosx在02π上的单调增加例2讨论函数yexx1的单调性没指明在r
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