式来近似表达函数同时给出误差公式设函数fx在含有x0的开区间内具有直到
1阶导数现在我们希望做的是找出一个关于xx0的
次多项式p
xa0a1xx0a2xx02a
xx0
来近似表达fx要求p
x与fx之差是比xx0
高阶的无穷小并给出误差fxp
x的具体表达式我们自然希望p
x与fx在x0的各阶导数直到
1阶导数相等这样就有p
xa0a1xx0a2xx02a
xx0
p
′xa12a2xx0
a
xx0
1p
′′x2a232a3xx0
1a
xx0
2p
′′′x3a3432a4xx0
1
2a
xx0
3p
x
a
于是p
x0a0p
′x0a1p
′′x02a2p
′′′x3a3p
x
a
按要求有fx0p
x0a0f′x0p
′x0a1f′′x0p
′′x02a2f′′′x0p
′′′x03a3f
x0p
x0
a
从而有a0fx0a1f′x0a21f′′x0a31f′′′x0a
1f
x023

ak1fkx0k012
k
重庆三峡学院高等数学课程建设组
f高等数学教案
§3
中值定理与导数的应用
于是就有p
xfx0f′x0xx01f′′x0xx021f
x0xx0
2泰勒中值定理如果函数fx在含有x0的某个开区间ab内具有直到
1的阶导数则当x在ab内时fx可以表示为xx0的一个
次多项式与一个余项R
x之和
fxfx0f′x0xx01f′′x0xx021f
x0xx0
R
x2
其中R
x这里多项式
f
1ξxx0
1ξ介于x0与x之间
1
p
xfx0f′x0xx01f′′x0xx021f
x0xx0
2
称为函数fx按xx0的幂展开的
次近似多项式公式
fxfx0f′x0xx01f′′x0xx021f
x0xx0
R
x2

称为fx按xx0的幂展开的
阶泰勒公式而R
x的表达式其中R
x
f
1ξxx0
1ξ介于x与x0之间
1
称为拉格朗日型余项当
0时泰勒公式变成拉格朗日中值公式
fxfx0f′ξxx0ξ在x0与x之间
因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广如果对于某个固定的
当x在区间ab内变动时f
1x总不超过一个常数M则有估计式
R
xf
1ξxx0
1≤Mxx0
1
1
1
及
x→x0
lim
R
x0xx0

可见妆x→x0时误差R
x是比xx0
高阶的无穷小即
R
xoxx0

在不需要余项的精确表达式时
阶泰勒公式也可写成
fxfx0f′x0xx01f′′x0xr