得fxxfxf′xθxx0θ1如果记fx为y则上式又可写为yf′xθxx0θ1试与微分dyf′xx比较dyf′xx是函数增量y的近似表达式而f′xθxx是函数增量y的精确表达式作为拉格朗日中值定理的应用我们证明如下定理定理如果函数fx在区间I上的导数恒为零那么fx在区间I上是一个常数证在区间I上任取两点x1x2x1x2应用拉格朗日中值定理就得fx2fx1f′ξx2x1x1ξx2由假定f′ξ0所以fx2fx10即
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f高等数学教案
§3
中值定理与导数的应用
fx2fx1因为x1x2是I上任意两点所以上面的等式表明fx在I上的函数值总是相等的这就是说fx在区间I上是一个常数例2证明当x0时
xl
1xx1x
证设fxl
1x显然fx在区间0x上满足拉格朗日中值定理的条件根据定理就有fxf0f′ξx00ξx由于f00f′x1因此上式即为1x
l
1xx1ξ
又由0ξx有
xl
1xx1x
三柯西中值定理设曲线弧C由参数方程
XFxYfxa≤x≤b
表示其中x为参数如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线那么在曲线C上必有一点xξ使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB曲线C上点xξ处的切线的斜率为dYf′ξdXF′ξ弦AB的斜率为fbfaFbFa于是
fbfaf′ξFbFaF′ξ
柯西中值定理如果函数fx及Fx在闭区间ab上连续在开区间ab内可导且F′x在ab内的每一点处均不为零那么在ab内至少有一点ξ使等式fbfaf′ξFbFaF′ξ成立显然如果取Fxx那么FbFabaF′x1因而柯西中值公式就可以写成
fbfaf′ξba这样就变成了拉格朗日中值公式了aξb
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§3
中值定理与导数的应用
§33泰勒公式对于一些较复杂的函数为了便于研究往往希望用一些简单的函数来近似表达由于用多项式表示的函数只要对自变量进行有限次加减乘三种运算便能求出它的函数值因此我们经常用多项式来近似表达函数在微分的应用中已经知道当x很小时有如下的近似等式ex≈1xl
1x≈x这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子但是这种近似表达式还存在着不足之处首先是精确度不高这所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小其次是用它来作近似计算时不能具体估算出误差大小因此对于精确度要求较高且需要估计误差时候就必须用高次多项r