高等数学教案
§3
中值定理与导数的应用
第三章中值定理与导数的应用
教学目的教学目的123理解并会用罗尔定理拉格朗日中值定理了解柯西中值定理和泰勒中值定理理解函数的极值概念掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用会用二阶导数判断函数图形的凹凸性会求函数图形的拐点以及水平铅直和斜渐近线会描绘函数的图形掌握用洛必达法则求未定式极限的方法知道曲率和曲率半径的概念会计算曲率和曲率半径知道方程近似解的二分法及切线性
456教学重点教学重点1罗尔定理拉格朗日中值定理2函数的极值判断函数的单调性和求函数极值的方法3函数图形的凹凸性4洛必达法则教学难点教学难点1罗尔定理拉格朗日中值定理的应用2极值的判断方法3图形的凹凸性及函数的图形描绘4洛必达法则的灵活运用§31中值定理一罗尔定理
费马引理设函数fx在点x0的某邻域Ux0内有定义并且在x0处可导如果对任意x∈Ux0有fx≤fx0或fx≥fx0那么f′x00罗尔定理如果函数yfx在闭区间ab上连续在开区间ab内可导且有fafb那么在ab内至少在一点ξ使得f′ξ0简要证明1如果fx是常函数则f′x≡0定理的结论显然成立2如果fx不是常函数则fx在ab内至少有一个最大值点或最小值点不妨设有一最大值点ξ∈ab于是
′f′ξfξlim′f′ξfξlim
x→ξ
fxfξ≥0xξfxfξ≤0xξ
x→ξ
重庆三峡学院高等数学课程建设组
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§3
中值定理与导数的应用
所以f′x0罗尔定理的几何意义二拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数fx在闭区间ab上连续在开区间ab内可导那么在ab内至少有一点ξaξb使得等式fbfaf′ξba成立拉格朗日中值定理的几何意义f′ξ定理的证明引进辅函数令xfxfa
fbfaxabafbfaba
容易验证函数fx适合罗尔定理的条件ab0x在闭区间ab上连续在开区间ab内可导且
′xf′x
fbfaba
根据罗尔定理可知在开区间ab内至少有一点ξ使′ξ0即
f′ξ
fbfa0ba
由此得
fbfaf′ξba
即fbfaf′ξba定理证毕fbfaf′ξba叫做拉格朗日中值公式这个公式对于ba也成立拉格朗日中值公式的其它形式设x为区间ab内一点xx为这区间内的另一点x0或x0则在xxxx0或xxxx0应用拉格朗日中值公式r