已知椭圆E：x2y21O为坐标原点A、B是椭圆E上两点且
42
△AOB的面积为
2
则

1OA



1OB

的最小值是

解法一（利用椭圆参数方程）
设A2cos2si
B2cos2si

因为SAOB
2
所以
SAOB

12

x1y2

x2y1

2
即2cossi
si
cos2
si
1cos0kkZ
2
OA2OB24cos22si
24cos22si
26
2
2
下面求11的最小值有如下方法：
OAOB
①均值不等式
OAOBOA2OB23
2
112
1223
OAOBOAOB33
②平方平均大于等于调和平均
a2b2211
2
11ab
ab
2
a2b22
11
2
223
OAOBOA2OB233
2
③权方和不等式
3
3
3
11OAOB

12
1
OA22

12
1
OB22

112
1
OA2OB22

2
26

23
3
当且仅当OAOB3时等号成立
1OA

1OB
mi


233

④权方和不等式柯西不等式
1
f11
4

4

4
2
3

OAOBOAOB2OA2OB2123
点评本解法利用椭圆的参数方程得到了一个很重要的中间结论：si
1一般地有如下结论：
若
Ax1
y1

Bx2
y2
为椭圆
E

x2a2

y2b2
1ab0上的动点
且
满足
SAOB

ab2
则有：
（1）x12x22a2y12y22b2；
（2）kOA
kOB


b2a2

解法二：（利用柯西不等式）
设
Ax1
y1

Bx2
y2由SAOB

12

x1y2

x2y1

2得
8x1y2x2y12x12x22y12y2282y12y22y12y22
（当且仅当x1x2y1y20时等号成立）
y12y22220y12y222
又x122y124x222y224则x122y12x222y228x12x224
进而x12x22y12y226
11
2
223
OAOBOA2OB233
2
当且仅当OAOB3时11取得最小值23
OAOB
3
点评本解法利用柯西不等式实现等与不等的相互转化相当精彩！
解法三：（利用仿射变换椭圆变圆）
设伸缩变换


x

2
x
则x2y21
y2y
在该变换下Ax1y1Bx2y2的对应点分别为Ax1y1Bx2y2
而SAOB

12

x1y2

x2y1
SAOB

12

x1y2
x2y1

2x1y2x2y1
所以SAOB22SAOB
2

SAOB

12
OA

OB
2
fx2y1y2x1x22y12y22x12
OA2OB24x122y124x222y226x12y126
3
3
3
11OAOB
12
1
OA22

12
1
OB22

112
1
OA2OB22

2
26

23
3
当且仅当OAOB3时11取得最小值23
OAOB
3
点评本解法利用仿射变换椭圆变圆关键是发现OAOB游数玩形妙在转化！
解法四：（齐次化）
由
SAOB

12

x1y2

x2y1

2及x122y124x222y224
得2x1y2x2y12r