2010年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1若abc均为整数且满足ab10ac101，则abbcca
（B）A．1
B．2C．3
D．4
2．若实数abc满足等式2a3b6，4a9b6c，则c可能取的最大值为
（C）
A．0
B．1C．2
D．3
3．若ab是两个正数，且
a1b110
则
ba
（C）
A．0ab1B．1ab1C．1ab4D．4ab2
3
3
3
3
4．若方程x23x10的两根也是方程x4ax2bxc0的根，则ab2c的
值为（A）
A．－13
B．－9C．6
D．0
5．在△ABC中，已知CAB60，D，E分别是边AB，AC上的点，且AED60，
EDDBCE
，
CDB2CDE

则
DCB
B
A．15°
B．20°C．25°
D．30°
6．对于自然数
，将其各位数字之和记为a
，如a2009200911，
a201020103
，
则
a1
a2
a3
a2
（D）
A．28062
B．28065C．28067
D．28068
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1．已知实数
x
y
满足方程组
x3

y3
19
则
x2

y2

13

xy1
f2．二次函数yx2bxc的图象与x轴正方向交于A，B两点，与y轴正方向交于
点C．已知AB3AC，CAO30，则c
1．9
3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝5，PC＝5，则PB＝___10___．
4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球
第二试（A）
一．（本题满分20分）设整数abc（abc）为三角形的三边长，满足
a2b2c2abacbc13，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数
解由已知等式可得
ab2bc2ac226
①
令abmbc
，则acm
，其中m
均为自然数
于是，等式①变为m2
2m
226，即
m2
2m
13
②
由于
m


均为自然数，判断易知，使得等式②成立的
m


只有两组：m
13
和
m1
3
（1）当m3
1时，bc1，ab3c4又abc为三角形的三边长，所
以bca，即c1cc4，解得c3又因为三角形的周长不超过30，即
abcc4c1cr