S△bCF．这两个三角形同底BC，因此，它们的顶点E，F的连线与底边平行．2同样用面积的方法可以证明如下事实：三角形ABC中，EF∥BC且AE∶EBm，若则AF∶FCm请同学们自己证明．例5如图1－54．在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上的一点，且AD∶DC2∶3，BD与CE交于F，S△ABC40，求SAEFD．
f分析四边形AEFD可分割为△AED与△DEF．从E是AB中点及D分AC为2∶3的条件看，△AED的面积不难推知，关键是如何推求△DEF的面积．为此，需通过添加辅助线的办法，寻求△DEF的面积与已知面积的关系．解取AD的中点G，并连接EG，在△ABD中，是AB的中点，E由例3知EG∥BD．又CD∶DG3∶1，从而，在△CEG中，CF∶FECD∶DG3∶1例3说明2，所以S△DFC∶S△DFE3∶1．设S△DEFx，则S△DFC3x，S△DEC4x．由于AD∶DC2∶3，所以S△EAD∶S△ECD2∶3，
又因为E是AB中点，所以
SaEFDS△aDES△DEF8311．说明在三角形中，利用平行线实行比的转移，再利用等积变形，得到相应的面积的比，从而将欲求的△DEF的面积与已知的△ABC的面积“挂上了钩”．这里取AD的中点G，得到BD的平行线EG是关键．例6如图155所示．E，F分别是ABCD的边AD，AB上的点，且BEDF，BE与
DF交于O．求证：C点到BE的距离等于它到DF的距离．
分析过C作CG⊥BE于G，CH⊥FD于H，则CG，CH分别是C到BE，DF的距离，问题就是要证明CGCH．结合已知，BEDF，可以断言，△BCE的面积等于△CDF的面积．由于这两个三角形的面积都等于ABCD面积的一半，因此它们等积，问题获解．解连接CF，CE．因为
所以S△bCES△cDF．因为BEDF，所以CGCHCG，CH分别表示BE，DF上的高，即C点到BE和DF的距离相等．
f说明1△BCE与△CDF是两个形状及位置完全不同的三角形，它们面积相等正是通过等积变形都等于同一平行四边形的面积之半．2通过等积变形可以证明线段的相等．练习十四1．如图1－56所示．在△ABC中，EF∥BC，且AE∶EBm，求证：AF∶FCm．
2．如图1－57所示．在梯形ABCD中，AB∥CD．若△DC的几分之几？3．如图1－58所示．已知P为△ABC内一点，AP，BP，CP分别与对边交于D，E，F，把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC的面积．4．如图1－59所示．P为△ABC内任意一点，三边a，b，c的高分别为ha，hb，hc，且P到a，b，c的距离分别为ta，tb，tc．
求
f5．如图1－60所示．在梯形ABCD中，两腰BA，CD的延长线相交于O，OE∥DB，OF∥AC且分别交直线BC于E，F．求证：BECF．
6．如图1－61所示．P是r