为奇数时，
285
fU
1U
2LU
p

21
31
4
p11L1
1
2
3
p
1111L
1
2
3
p11111L
1
2
3
p1
p1
1
因而，对于任何自然数P，都有
U
1U
2LU
p11，
1

ε0，取N11，则当
N时，对任何自然数P恒有ε
∞
1U
1U
2LU
pε成立，由柯西审敛原理知，级数∑1收敛．
1
2对于任意自然数P，都有
U
1U
2LU
p≤cos
pxcos
1xcos
2xL
1
2222
p111
2L
p
122211
11p2211211
1p2212



1于是，ε00ε1，Nlog2，当
N时，对任意的自然数P
ε
都有U
1U
2LU
pε成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛．3取P
，则
286
fU
1U
2LU
p111111L32
132
232
33
113
123
1311≥L3
1132
1
≥6
1112
从而取ε0
1，则对任意的12

∈N，都存在P
所得
U
1U
2LU
pε0，由柯西审敛原理知，原级数发散．
5．用比较审敛法判别下列级数的敛散性．1
111LL；
3
5465712131
LL2212131
2
21
∞
3∑si

1
π；3

46
∑
1∞
∞
12
3
1

；
5∑
1
11a
∞
a0；
∑2
1
1
．
解：1∵U
而∑
∞
112
3
5

∞1收敛，由比较审敛法知∑U
收敛．2
1
1
2∵U
1
1
∞
1
1
1≥21

2

而∑发散，由比较审敛法知，原级数发散．
ππsi

3∵lim3limπ3π
→∞
→∞1π
33
si

287
f而∑
∞ππ收敛，故∑si
也收敛．
3
13
1
∞
4∵U
而∑
1∞
12
3

1
3
∞

1
3

2
1
32
收敛，故∑
1
12
3
收敛．
5当a1时，U

∞∞1111
，而∑
收敛，故∑也收敛．
1aa
1a
11a
121当0a1时，limU
lim1≠0，级数发散．
→∞
→∞1a

当a1时，limU
lim≠0，级数发散．
→∞
→∞
12
综上所述，当a1时，原级数收敛，当0a≤1时，原级数发散．6由limx→0
∞21211l
2知liml
21而∑发散，由比较审敛法知x→∞1x
1

x
1

∑2
∞
1
1

1
发散．
2∑
；
131
∞
6．用比值判r