2L
π2
所以
∞2
π
11fx∑12si
si
x
π2
1
x≠2
1π
∈z
4因为fxcos作为以2π为周期的函数时，处处连续，故其傅里叶级数收敛于fx，注意到fx为偶函数，有b
0
12…，
a
1πx2πx∫πcos2cos
xdxπ∫0cos2cos
xdxπ1π11∫cos
xcos
xdx0π2211si
2xsi
2x111π
2201
1412
012Lπ4
1
π
x2
所以fx的傅里叶级数展开式为：
fx24∞
1cos
x∑1ππ
14
21
x∈ππ
29将下列函数fx展开为傅里叶级数：1fx
π4
x2
πxπ
2fxsi
x0≤x≤2π解：1a0
a
1π1ππxπ∫πfxcos
xdxπ∫π42dx2π
1ππx1π1π∫π42cos
xdx4∫πcos
xdx2π∫πxcos
xdxπ1πsi
xπ00
12L4
311
fb

1ππx1π1π∫π42si
xdx4∫πsi
xdx2π∫πxsi
xdxπ
11
π4
∞

故fx∑1
1
si
x

πxπ
2所给函数拓广为周期函数时处处连续，因此其傅里叶级数在02π上收敛于
fx，注意到
fx为偶函数，有
b
0a0
1π1π∫πfxcos0xdxπ∫πsi
xdxπ2π4∫si
xdxπ0π
a

2π2π∫0fxcos
xdxπ∫πsi
xcos
xdxπ1π∫si
1xsi
1xdxπ02
112π
1

135L04
246Lπ
21
所以
fx2∞4cos2
x0≤x≤2π∑π
1π4
21
30设fxx10≤x≤π，试分别将fx展开为正弦级数和余弦级数解：将fx作奇延拓，则有a
0
012…
b
2π2π∫0fxsi
xdxπ∫0x1si
xdxπ

2111ππ

2∞111πsi
x0xπ从而fx∑π
1


312
f若将fx作偶延拓，则有b
0
12…
a
2π2π∫0fxcos
xdxπ∫0x1cos
xdxπ
246L04
2π
135L
1π2πfxdx∫x1dxπ2π∫ππ0
a0
从而fx
π24∞cos2
1x∑0≤x≤ππ
12
122
并由此求31将fx2x1≤x≤1展开成以2为周期的傅里叶级数，级数∑
1的和2
1
∞
解：fx在∞∞内连续，其傅里叶级数处处收敛，由fx是r