2dv，　　Iyx2z2dv，　　Izx2y2dv



曲线积分：
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：
设f

x
y在L上连续，L的参数方程为：yx
t
t
　　

t


则：
L

fxyds

ftt

2
t

2
t
dt　　


　　特殊情况：y
x
tt
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f高等数学复习公式
第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：
设L的参数方程为
xy

t，则：t

PxydxQxydyPtttQtttdt
L

两类曲线积分之间的关系：PdxQdyPcosQcosds，其中和分别为
L
L
L上积分起止点处切向量的方向角。
格林公式：D

Qx

Py
dxdy


L
Pdx

Qdy格林公式：D

Qx

Py
dxdy


L
Pdx

Qdy
当P

yQ

x，即：Qx

Py

2时，得到D的面积：A

dxdy
D

12

L
xdy

ydx
平面上曲线积分与路径无关的条件：
1、G是一个单连通区域；
2、Pxy，Qxy在G内具有一阶连续偏导数，且Q＝P。注意奇点，如00，应xy
减去对此奇点的积分，注意方向相反！
二元函数的全微分求积：
在Q＝P时，PdxQdy才是二元函数uxy的全微分，其中：xy
xy
uxyPxydxQxydy，通常设x0y00。x0y0
曲面积分：
对面积的曲面积分：fxyzds
fxyzxy
1

z
2x

x
y

z
2y

x
ydxdy

Dxy
对坐标的曲面积分：PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy，其中：
RxyzdxdyRxyzxydxdy，取曲面的上侧时取正号；

Dxy
PxyzdydzPxyzyzdydz，取曲面的前侧时取正号；

Dyz
QxyzdzdxQxyzxzdzdx，取曲面的右侧时取正号。

Dzx
两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcosds


高斯公式：
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f高等数学复习公式

Px

Qy

Rz
dv



Pdydz

Qdzdx
Rdxdy



P
cos

Qcos


R
cos
ds
高斯公式的物理意义通量与散度：
散度：divPQR即：单位体积内所产生的流体质量，若div0则为消失
xyz
通量：
A

ds


A
ds


P
cos

Q
cos


R
cos
ds，




因此，高斯公式又可写成：divAdvA
ds


斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：


Ry

Qz
dydz

Pz

Rx
dzdx


Qx

Py
dxdy



Pdx

Qdy

Rdz
dydzdzdxdxdycoscoscos
上式左端又可写成：
x
y
z

x
y
z
PQR
PQR
空间曲线积分与路径无关的条件：RQ，　PR，　QPyzzxxy
ijk
旋度：rotA



xyz
PQR

向量场A沿有向闭曲线的环流量：Pdx

Qdy

Rdz


A

tds


常数项级数：
等比数列：1qq2q
11q
1q
等差数列：123
1
2
调和级数：1111是发散的
23


级r