数审敛法：
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f高等数学复习公式
1、正项级数的审敛法根植审敛法（柯西判别法）：
1时，级数收敛
设：

lim


u
，则1时，级数发散

1时，不确定
2、比值审敛法：
1时，级数收敛
设：

lim

U
1U

，则1时，级数发散

1时，不确定
3、定义法：
s


u1
u2



u


lim

s

存在，则收敛；否则发散。
交错级数u1u2u3u4或u1u2u3u
0的审敛法莱布尼兹定理：
如果交错级数满足l
uim
u
u
10，那么级数收敛且其和su1其余项r
的绝对值r
u
1。
绝对收敛与条件收敛：
1u1

u2

u


，其中u
为

任意
实数；
2u1u2u3u

如果2收敛，则1肯定收敛，且称为绝对收敛级数；
如果2发散，而1收敛，则称1为条件收敛级数。
调和
级数
：
1

发散，而
1


收敛；
　　级数：
1
2
收敛；
　　p级数：
1
p
　　ｐ１时发散p1时收敛
幂级数：
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1
x

x2

x3

x

　　x
1时，收敛于11x
x1时，发散
对于级数3a0a1x　a2x2a
x
，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全xR时收敛
数轴上都收敛，则必存在R，使xR时发散，其中R称为收敛半径。xR时不定
求收敛半径的方法：设lima
1a


，其中a
，a
1是3的系数，则
0时，R1
0时，R时，R0
函数展开成幂级数：
函数展开成泰勒级数：fx
fx0xx0
f
x02

x

x0

2



f

x0


x

x0



余项：R


f
1
1
x

x0


1
f
x可以展开成泰勒级数的充要条件是：lim

R

0
x0
0时即为麦克劳林公式：fx
f0
f0x
f0x22
f

0x


一些函数展开成幂级数：
1xm1mxmm1x2mm1m
1x
　　　1x1
2


si
xxx3x51
1x2
1　　　x
35
2
1
欧拉公式：
eix

cosx
isi

x　　　或cosx
si
x

eixeix
eix2eix2
三角级数：
f
t

A0


1
A

si
t


a02


a

1
cos
xb

si
x
其中，a0aA0，a
A
si
，b
A
cos
，tx。
正交性：1si
xcosxsi
2xcos2xsi
xcos
x任意两个不同项的乘积在
上的积分＝0。
傅立叶级数：
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f
x

a02


a

1
cos
xb

si
x，周期
2

a
其中
b


1
1


ff
xcos
xdx　　　
012xsi
xdx　　　
123
1　
132

152

28
1112
224262
24
1
122

132

142


2
（相加）
6
1
1

1

1




2
（相减
）
223242
12
正弦级数：a

0，b


2
0
f
xsi
xdx　　

123　f
x

b
si
x是奇函数
余弦级数：b


0，a


2
0
f
xcos
xdx　　


012r