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si
2xdxdy4xydxdyxyDD
f

0

si
x
0
4xydydx2xsi
2xdxx1cos2xdx
00


x22


0

0
si
2xxsi
2xdxxcos2xdx02220
2


2
2

0
因为si
2xdx2x21ydysi
2xdx0
L1

故si
2xdx2x21ydy
L
2
2
【详解3】令Isi
2xdx2x21ydy
L
si
2xdx2ydy2x2ydyI1I2
L
对于I1,记Psi
2xQ2y.因为
PP0,故I1与积分路径无关.yx
I1si
2xdx0.
0

对于I2,
I22x2ydy2x2si
xcosxdxx2si
2xdx
L00


x2cos2xxcos2xdx020


2
2
xcos2xdx
0

si
2xxsi
2xdx02220
2


2
2


si
x2dx
L
2x
2
1ydy
2
2
x2y22z2017(本题满分11分)已知曲线C求C上距离xoy面最远的点xy3z5
f和最近的点.【详解1】点xyz到xoy面的距离为z,故求C上距离xoy面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数Hz2在条件x2y22z20xy3z5下的最大值点和最小值点.构造拉格朗日函数
Lxyzz2x2y22z2xy3z5,
Lx2x20L2y0y由Lz2z4z30222xy2z0xy3z5
得xy,
x5x12x22z20从而解得y5或y12x3z5z5z1
根据几何意义,曲线C上存在距离xoy面最远的点和最近的点,故所求点依次为555和111.【详解2】点xyz到xoy面的距离为z,故求C上距离xoy面最远的点和最
xy5近的点的坐标等价于求函数Hxy在条件xy20下的最3
22
222
大值点和最小值点.构造拉格朗日函数
2Lxyzx2y2x2y2xy52,9
4Lx2x2xxy5094由L2y2yxy50y92xy5x2y2203
f2得xy,从而2x22x520.9解得
x5x1y5r
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