知斜率为k的直线l与椭圆C：x2y21交于A，B两点，线段AB的中点为
43
M1，mm0．
f（1）证明：k1；
2
（2）设F为C的右焦点，为上一点且FPFAFB0．证明：FA，FP，
PC
FB成等差数列，并求该数列的公差．
解：（1）设
Ax1
y1Bx2
y2，则
x124

y123
1
x224

y223
1
两式相减，并由y1y2k得x1x2
x1x2y1y2k0
4
3
由题设知x1x21y1y2m，于是
2
2
k3①4m
由题设得0m3，故k1
2
2
（2）由题意得F10，设Px3y3，则
x31y3x11y1x21y200由（1）及题设得x33x1x21y3y1y22m0
又点P在C上，所以m3，从而P13，FP3
4
2
2
于是
FA
x112y12
x1
12

31
x124


2

x12

同理FB2x22
所以

FA



FB

4

12

x1

x2


3

故2FPFAFB，即FAFPFB成等差数列设该数列的公差为d，则
f1
1
2dFBFA2x1x22
x1x224x1x2②
将m3代入①得k14
所以l的方程为yx7，代入C的方程，并整理得7x214x10
4
4
故
x1

x2

2
x1x2

128
，代入②解得
d

32128

所以该数列的公差为321或321
28
28
已知抛物线C：y22x，过点（20）的直线l交C与AB两点，圆M是以线段AB
为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，2），求直线l与圆M的方程．
解
（1）设Ax1y1Bx2y2lxmy2
由
xmy

y
2

2x
2可得
y2

2my

4

0则
y1y2

4
又
x1
y122
x2
y222
故x1x2
2
y1y24
4
因此OA的斜率与OB的斜率之积为y1x1
y241x24
所以OA⊥OB故坐标原点O在圆M上
（2）由（1）可得y1y22mx1x2my1y242m24
故圆心M的坐标为m22，m，圆M的半径rm222m2
由于圆M过点P（4，2），因此APBP0故x14x24y12y220
即x1x24x1x2y1y22y1y2200
由（1）可得y1y24，x1x24，
f所以
2m2

m
1

0
，解得
m

1或m


12

当m1时，直线l的方程为xy20，圆心M的坐标为（31），圆M的半径为10，
圆M的方程为x32y1210
当
m


12
时，直线
l
的方程为
2x
r