因此AMN的面积21121214427749
（II）由题意t3，k0，At0
将直线AM的方程ykxt代入x2y21得3tk2x22ttk2xt2k23t0t3
f由x1
t

t2k23tk2
得
x1

t3tk23tk2，故AMx1t
6t2k21k23tk2
由题设，直线AN的方程为y1k
x
t
6kt1k2，故同理可得AN
3k2t
，
由2
AM

AN
得23tk2
k，即3k2t
k32
t3k2k1
当k32时上式不成立，
因此
t

3k2k
k3
1
2

t

3
等价于
k3

3kk3
2k2

2

k
2
k3
k22
1
0，
即
k2k32

0
由此得
k20
k
3

2

0
，或
k20
k
3

2

0
，解得
3
2

k

2

因此k的取值范围是322
考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系
平面直角坐标系
xOy
中，过椭圆
M：
x2a2

y2b2
1a＞b＞0右焦点的直线
xy30交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为1
2
1求M的方程；
2C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD
面积的最大值．
解：1设Ax1，y1，Bx2，y2，Px0，y0，
则
x12a2

y12b2
1，
x22a2

y22b2
1，
y2x2

y1x1
1，
由此可得b2x2x1y2y11
a2y2y1x2x1
因为
x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
y0x0

12
，
所以a2＝2b2
又由题意知，M的右焦点为3，0，故a2－b2＝3
因此a2＝6，b2＝3
所以M的方程为x2y21
63
xy30
2由

x
2


y2
1
63
f
解得
x

433

或
x

0

y


33
y3
因此AB＝46
3
由题意可设直线CD的方程为
y＝
x




533




3

，
设Cx3，y3，Dx4，y4．
yx

由

x2
y2
得3x2＋4
x＋2
2－6＝0
631
于是x34＝2

29
2
3
因为直线CD的斜率为1，
所以CD＝
2

x4

x3

43
9
2
由已知，四边形ACBD的面积S1CDAB869
2
2
9
当
＝0时，S取得最大值，最大值为86
3
所以四边形ACBD面积的最大值为86
3
已知O为坐标原点，F为椭圆Cx2y21在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为22
的直线l与C交于A、B两点，点P满足OAOBOP0
（I）证明：点P在C上；（II）设点P关于点O的对称点r