x023y024,所以y0
339
故存在点P使得PAB与PMN的面积相等,此时点P的坐标为53339
解法二:若存在点P使得PAB与PMN的面积相等,设点P的坐标为x0y0
则1PAPBsi
APB1PMPNsi
MPN
2
2
因为si
APBsi
MPN
所以PAPNPMPB
所以x013x03x0x1
即
3
x02
x02
1,解得
x0
53
因为x023y024,所以y0
339
故存在点PS使得PAB与PMN的面积相等,此时点P的坐标为
53339
已知曲线C5mx2m2y28mR
(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,求m的取值范围;(2)设m4,曲线C与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线ykx4
与
曲线C交于不同的两点M,N,直线y1与直线BM交于点G,求证:A,G,
N三点共线
解:(1)原曲线方程可化简得:x2y21
8
8
5mm2
f
5
8m
8m
2
由题意可得:
5
8
m
0
,解得:7m5
2
m
8
2
0
(2)由已知直线代入椭圆方程化简得:2k21x216kx240,
322k23,解得:k23
2
由韦达定理得:xM
xN
16k①,
2k21
xMxN
24,②
2k21
设NxNkxN4,MxMkxM4,GxG,1
MB
方程为:
y
kxMxM
6
x
2,则
G
3xMkxM
6
,1
,
AG
3xMxMk
6
,
1
,
AN
xN
,xNk
2
,
欲证A,G,N三点共线,只需证AG,AN共线
即
3xMxMk
6
xN
k
2xN
成立,化简得:3k
kxMxN
6xM
xN
将①②代入易知等式成立,则A,G,N三点共线得证。
已知椭圆Cx22y24,(1)求椭圆C的离心率(2)设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y2上,且OAOB,求直线
AB与圆x2y22的位置关系,并证明你的结论
解:(I)由题意,椭圆C的标准方程为x2y21。42
所以a24b22,从而c2a2b22。因此a2c2。
故椭圆C的离心率ec2。a2
(Ⅱ)直线AB与圆x2y22相切。证明如下:设点AB的坐标分别为x0y0,t2,其中x00。
f因为OA
OB
,所以OAOB
0
,即tx0
2y0
0
,解得t
2y0x0
。
当x0
t
时,
y0
t22
,代入椭圆
C
的方程,得t
2,
故直线AB的方程为x2。圆心O到直线AB的距离d2。
此时直线AB与圆x2y2r