顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究大值；若不存在，请说明理由．是否存在最大值？若存在，求出该最
f考点：二次函数综合题分析：（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；（2）i）首先求出直线AC的解析式和线段PQ的长度，作为后续计算的基础．若△MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为．此时，将直线AC向右平移4个单位后所得直线（yx5）与抛物线的交点，即为所求之M点；②当PQ为斜边时：点M到PQ的距离为．此时，将直线AC向右平移2个单位后所得直线（yx3）与抛物线的交点，即为所求之M点．ii）由（i）可知，PQ为定值，因此当NPBQ取最小值时，有最大值．
如答图2所示，作点B关于直线AC的对称点B′，由分析可知，当B′、Q、F（AB中点）三点共线时，NPBQ最小，最小值为线段B′F的长度．解答：解：（1）由题意，得点B的坐标为（4，1）．∵抛物线过A（0，1），B（4，1）两点，∴，解得：b2，c1，x2x1．
2
∴抛物线的函数表达式为：y
（2）i）∵A（0，1），C（4，3），∴直线AC的解析式为：yx1．设平移前抛物线的顶点为P0，则由（1）可得P0的坐标为（2，1），且P0在直线AC上．∵点P在直线AC上滑动，∴可设P的坐标为（m，m1），则平移后抛物线的函数表达式为：y（xm）m1．
2
解方程组：
，
f解得
，
∴P（m，m1），Q（m2，m3）．过点P作PE∥x轴，过点Q作QE∥y轴，则PEm（m2）2，QE（m1）（m3）2．∴PQAP0．若△MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为（即为PQ的长）．由A（0，1），B（4，1），P0（2，1）可知，△ABP0为等腰直角三角形，且BP0⊥AC，BP0．如答图1，过点B作直线l1∥AC，交抛物线y件的点．∴可设直线l1的解析式为：yxb1，∵B（4，1），∴14b1，解得b15，∴直线l1的解析式为：yx5．解方程组，得：，x2x1于点M，则M为符合r