个结论注意:“过圆心、平分弦”作为题设时,平分的弦不能是直径
f【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明【例1】如图,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=6cm,OD=4cm,则DC的长为
A.5cm
B.25cm
C.2cm
D.1cm
【变式】如图,⊙O中,弦AB⊥弦CD于E,且AE3cm,BE5cm,求圆心O到弦CD距离
【例2】如图所示,直线与两个同心圆分别交于图示的各点,则正确的是
A.MP与RN的大小关系不定
B.MP=RN
C.MP<RN
D.MP>RN
【变式】已知:如图,割线AC与圆O交于点B、C,割线AD过圆心O若圆O的半径是5,且DAC30,AD13求弦BC的长
f类型二、垂径定理的综合应用【例3】如图,某公园的一座石拱桥是圆弧形劣弧,其跨度为24m,拱的半径为13m,则拱高为
A.5m
B.8m
C.7m
D.53m
【例4】如图,一条公路的转弯处是一段圆弧,其中CD600m,E为弧上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF90m,求这段弯路的半径.
【变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形,如图所示,正常水位下水面宽AB60m,水面到拱顶距离CD18m,当洪水泛滥时,水面距拱顶不超过3m时拱桥就有危险,现在水面宽MN32m时是否需要采取紧急措施?请说明理由.
ff弧、弦、圆心角、圆周角
【要点梳理】要点一、弧、弦、圆心角的关系1圆心角定义如图所示,∠AOB的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做圆心角.AOB
2定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.3推论:在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等.要点诠释:1一个角要是圆心角,必须具备顶点在圆心这一特征;2注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提
要点二、圆周角1圆周角定义:像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角,它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.E
AOB
DC
2圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
f3圆周角定理的推论:半圆或直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.要点诠释:1圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上;②角的两边都和圆相交2圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中4圆内接四边形:1定义圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形.2性质:圆内接四边形对角互补,外角等于内对角即它的一个外角等于它相邻内角的对r