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完美破解立体几何证明题
1．若平面α∥平面β，直线aα，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中与a平行的直线的条数为________．答案一条解析由直线a与B确定的平面与β有唯一交线．故存在唯一与a平行的直线．2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱AB上的动点，则直线A1D与直线C1E所成的角为________．答案90°解析在正方体中，显然有A1D⊥AB，A1D⊥AD1，所以A1D⊥平面AD1C1B，又C1E平面AD1C1B，故A1D⊥C1E3．已知α、β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a、b，aα，bβ，a∥β，
b∥α；④存在两条异面直线a、b，aα，bβ，a∥β，b∥α，可以推出α∥β的是
________．答案①④解析对于②，平面α与β还可以相交；对于③，当a∥b时，不一定能推出α∥β，所以②③是错误的，易知①④正确．4．已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有下列三个条件：①a∥γ，bβ；②a∥γ，b∥β；③b∥β，aγ如果命题“α∩β＝a，bγ，且________，那么a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________．答案①或③解析由定理“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行”可得，横线处可填入条件①或③
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f5如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是________．答案①②③解析对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC∵AB为⊙O的直径，∵PA∩AC＝A，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，又PC平面PAC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，∵PA平面PAC，∴OM∥平面PAC；对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．6．设α和β为两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．其中为真命题的是________．写出所有真命题的序号答案①②解析
由①知α内两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交直线确定的平面α平行于平面r