M的长；（2）在（1）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．分析：（1）将A（3，0），C（0，4）代入yax22axc，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
f（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长；（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM的形状．解答：解：（1）∵抛物线yax22axc（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），
∴
，解得
，
∴抛物线的解析式为yx2x4；（2）设直线AC的解析式为ykxb，∵A（3，0），点C（0，4），
∴
，解得
，
∴直线AC的解析式为y4x4．3
∵点M的横坐标为m，点M在AC上，
∴M点的坐标为（m，4m4），3
∵点P的横坐标为m，点P在抛物线yx2x4上，
∴点P的坐标为（m，m2m4），
∴PMPEME（m2m4）（4m4）m27m，
3
3
即PMm27m（0＜m＜3）；3
（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、
F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：由题意，可得AE3m，EMm4，CFm，PF
m2m44m2m．
若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：①若△PFC∽△AEM，则PF：AEFC：
EM，即（m2m）：（3m）m：（m4），
∵m≠0且m≠3，
∴m．
∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF∠AME，∵∠AME∠CMF，∴∠PCF∠CMF．在直角△CMF中，∵∠CMF∠MCF90°，∴∠PCF∠MCF90°，即∠PCM90°，∴△PCM为直角三角形；②若△CFP∽△AEM，则CF：AEPF：EM，即m：（3m）（m2m）：（m4），∵m≠0且m≠3，
f∴m1．∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF∠AME，∵∠AME∠CMF，∴∠CPF∠CMF．∴CPCM，∴△PCM为等腰三角形．
综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为或1，△PCM为直角三
角形或等腰三角形．
点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、r