群
若映射
是一同构映射则对任意
有
另一方面，由逆元的性质可知
因此对任意
有

即映射
是一同构映射则群G为一个交换群
f9设S为群G的一个非空子集合，在G中定义一个关系a～b当且仅当ab1∈S证明这是一个等价关系的充分必要条件为S是一个子群
证明首先证明若～是等价关系，则S是G的一个子群对任意aG有a～a故此aa1eS；对任意abS由abb1aS可知ab～b，又be1bS故b～e由传
递性可知ab～e，即abe1abS再者因ae1aS故a～e由对称性可知e～a，即ea1a1S可见S是G的一个子群
接着证明当S是G的一个子群下面证明～是一个等价关系对任意aG有aa1eS，故此a～a自反性若a～b，则ab1S因为S为G的子群，故ab11ba1S因此b～a对称性若a～b，b～c那么ab1Sbc1S故ab1bc1ac1S，因此a～c传递性综上可知～是一个等价关系
10设
为一个正整数
Z为正整数加法群Z的一个子群，证明
Z与Z同构证明
我们容易证明为Z到
Z的同构映射故此
Z与Z同构
11证明在S4中，子集合Be123413241423
是子群，证明B与U4不同构
f证明
可记a1234b1324c1423，那么置换的乘积表格如下：
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
e
c
b
b
b
c
e
a
c
c
b
a
e
由该表格可以知道B中的元素对置换的乘法封闭，并且B的每一元都可逆
任意元的逆为其本身因此B为S4的子群这个群以及与其同构的群称为Klei
CLKlei
18491925四元群
假设B与U4同构并设f为B到U4的同构映射则存在B中一元x使得fxii为虚数单位那么
fx2f2xi21
另一方面fx2fe1注意x2e产生矛盾所以假设不成立即B与U4不同构
讨论B与U4都是4元交换群，但是后者是循环群前者不是这是这两个群的本质区别
12证明如果在一阶为2
的群中有一
阶子群，它一定是正规子群证明方法1
设H是2
阶群G的
阶子群那么对任意aH有
fHaH并且aHGHG又注意到aH和H中都有
个元素故此
HaHG同理可证对任意aH有
HHaHHaG，因此对任意aH，有
aHHa对任意aH显然aHHHaH又因aHHa及H中都有
个元素，故
aHHaH综上可知对任意aG有
aHHa，因此H是G的正规子群
方法2设H是2
阶群G的
阶子群那么任取aHhH显然有aha1H对给定的xH有HxHHxHG这是因为若假设yHxH则存在hH，使得yxh即xyh1H
产生矛盾因此HxH另一方面xHGHG又注意到xH和H中都有
个元素故此HxHG
那么任取aH由上面的分析可知axH从而可令
faxh1这里h1r