H
假设存在hH使得aha1H则必有aha1xH从而可令
这里h2H那么
aha1xh2
xh1ha1xh2即
产生矛盾
ah2h1hH
因此，任取aHhH有aha1H
综上可知对任取aGhH有aha1H因此H为G的一个正规子群
13设群G的阶为一偶数证明G中必有一元素ae适合a2e证明设bG，且阶数大于2，那么b≠b1而b1的阶数与b的阶数相等换句话说G中阶数大于2的元素成对出现，幺元e的阶数为1，注意到G的阶数为宜偶数，故此必存在一个2阶元，切确的说阶数为2的元素有奇数个
讨论1设G是一2
阶交换群，
为奇数则G中只有一个2阶元为什么？提示：采用反证法，并注意用Lagra
ge定理
f2群G中，任取aG，有a
e，那么G一定是有限群吗？如果不是请举出反例，若是有限群，阶数和
有什么关系？
14令
AB证明集合BB2…B
ABAB2…AB
在矩阵的乘法下构成一群而这个群与群D
同构证明
下面证明GBB2…B
ABAB2…AB
在矩阵的乘法下构成一群Ⅰ首先证明对乘法运算封闭下面进行分类讨论：
1BiBjBij注意到B

故此
BiBjBrG
这里ijk
rkZ0r

2ABiBjBrG
这里ijk
rkZ0r

3容易证明BABAAB
BABiABs1
AB
tG这里
is
tkZ0t
那么
BiABjBiABjAB
tBjG
4ABiABjABiABjAAB
tBjA2B
tBjB
tBjG
由1234知G对乘法运算封闭
Ⅱ因集合G对矩阵乘法封闭，再由矩阵乘法的性质可知，结合律肯定成立
fⅢ显然B
A2E为幺元Ⅳ对Bii12…
有
BiB
iE
对ABii12…
有ABiB
iAE
因此G内任何一元都可逆由Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ可知G在矩阵乘法下构成一群最后证明G与D
同构令fG→D
fBiTifABiSTii12…
，
可以证明f就是G到D
的同构映射，这里不予证明了15设i是一个正整数群G中任意元素ab都适合abkakbkkIi1i2证
明G为交换群证明
对任意abGai2bi2abi2ababi1abai1bi1abai1bi1
根据消去律可得ai1bbai11
同时ai1bi1abi1ababiabaibiabaibi1
根据消去律可得
f因此另外结合134有由消去律可得到
因此G为交换群
aibbai2ai1baaibabaiabai3bai1baai4abaibaai5
abba
16在群SL2Q中，证明元素
a的阶为4，元素
b的阶为3，而ab为无限阶元素证明：
可以直接验证a的阶为4，b的阶为3因为
对任何正整数
，
ab，
ab

≠
f可见ab的阶为无限
注意在一群中，有限阶元素的乘积并不一定也是有限阶的，但两个可交换的有限阶元r