律故此G在该乘法下成一群
f总结
群有几种等价的定义
1幺半群的每一个元素都可逆，则称该半群为群2设G是一个非空集合，G内定义一个代数运算，该运算
满足结合律并且G内包含幺元G内任意元素都有逆元则称G为该运算下的群3设G是一个非空集合，G内定义一个代数运算，该运算满足结合律并且G内包含左幺元G内任意元素对左幺元都有左逆元则称G为该运算下的群4设G是一个非空集合，G内定义一个代数运算，该运算满足结合律并且对于任一对元素abG下列方程
axb和yab分别在G内恒有解，则称G为该运算下的群值得注意的是如果一个有限半群满足左右消去律则该半群一定是群
5在S3中找出两个元素xy适合xy2x2y2
思路在一个群G中，xyGxyyxxy2x2y2这一点很容易证明因此只要找到S3中两个不可交换的元素即可我们应该在相交的轮换中间考虑找到这样的元素解取
f那么
x
y
xy2
x2y2
注意
我们可以通过mathematica软件编写S
的群表输出程序如下Pra_b_
_两个置换的乘积
TableabiI1

Se
_12…
的所有可能的排列做成一个表格
Permutatio
sTableiI1

Stable
_生成S
群表aSe

Tablepraiaj
I1
j1

当
3时群表如下：
1
1
2
2
3
3
2
3
1
3
1
2
3
2
3
1
2
1
1
1
3
3
2
2
3
2
1
2
1
3
2
3
2
1
3
1
2
2
1
1
3
3
1
3
2
3
2
1
3
1
3
2
1
2
2
2
3
3
1
1
3
1
2
1
2
3
1
3
1
2
3
2
3
3
1
1
2
2
1
2
3
2
3
1
2
1
2
3
1
3
3
3
2
2
1
1
2
1
3
1
3
2
1
2
1
3
2
3
f说明：表示置换
剩下的类似为了让更清楚，我们分别用eabcdf
表示
那么群表如下
e
a
b
c
d
f
e
e
a
b
c
d
f
a
a
e
d
f
b
c
b
b
c
e
a
f
d
c
c
b
f
d
e
a
d
d
f
a
e
c
b
f
f
d
c
b
a
e
6对于
2作一阶为2
的非交换群
7设G是一群abG如果a1babr其中r为一正整数证明aibai证明：
我们采用数学归纳法证明当k1时a1babr结论成立；假设当k
时结论成立即a
ba
成立下面证明当k
1时结论也成立我们注意到
因此
a1bka
bkr
fa
1ba
1a1a
ba
aa1a

可见k
1时结论也成立
由归纳原理可知结论得证
8证明群G为一交换群当且仅当映射证明
是一同构映射
Ⅰ首先证明当群G为一个交换群时映射
是一同构映射
由逆元的唯一性及
可知映射
并且群G为一个交换群可得
为一一对应，又因为
因此有

综上可知群G为一个交换群时映射
是一同构映射
Ⅱ接着证明当映射
是一同构映射则群G为一个交换r