x解：xl
xlimlimlimlimx0x01Lx0x0x11xx2x1limx0ax0

0，使得fcosfsi
0成立
○拉格朗日中值定理（★）
x
【题型示例】证明不等式：当x1时，eex【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数fxe，则对x1，
x
（一般地，limxl
x0，其中R）
x0

显然函数fx在闭区间1x上连续，在开区间
⑵型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值：lim【求解示例】
11xsi
xxsi
x解：limlimlimx0si
xxx0xsi
xx0x2
1x上可导，并且fxex；
2．由拉格朗日中值定理可得，1x使得等式
11x0si
xx
eex1e成立，
x1

1又∵ee，∴eex1eexe，
x11
【题型示例】证明不等式：当x0时，l
1xx【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数fxl
1x，则对
高等数学期末复习资料
化简得eex，即证得：当x1时，eex
xx
lim
Lx0
00
xsi
x
x
2
lim
x0
1cosx2x
lim
Lx0
00
1cosx2x
lim
x0
si
x2
0
⑶0型（对数求极限法）
0
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f【题型示例】求值：limx
x0
x
【求解示例】
解：设yxx两边取对数得：yl
xxxl
xl

l
x1x
0002130100
⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节泰勒中值定理（不作要求）第四节函数的单调性和曲线的凹凸性○连续函数单调性（单调区间）（★★★）【题型示例】试确定函数fx2x9x12x3的
32
l
xl
x对对数取x0时的极限：l
ylimlimlimx0x01Lx01xx1liml
ylimxlimx0，从而有limylimel
yex0e01x0x0x0x012x
⑷1型（对数求极限法）【题型示例】求值：limcosxsi
xx
x01
单调区间【求解示例】1．∵函数fx在其定义域r