由已知fx1x2Lx
x1x2x2x3Lx
1x

y1x1x2yxx23222令L则标准形为fy12y2Ly
1yxx
1
1y
x
所以该二次形的秩为
1正惯性指数为
1
11已知对称矩阵AB求可逆矩阵C使得。
0011211121B1012A11A2111011020101C1000011002C110001
112B10123210
12
320110
12
解
12试证明一个实二次型的秩r与符号差s具有相同的奇偶性且r≤s≤r证设二次型的正负惯性指数分别为pq则pqrpqs故rs2p所以rs具有相同的奇偶性13判别下列二次型的正定性
221f3x126x1x3x24x2x38x3
2f5x26y24z24xy4xz
解
330012的顺序主子式：A30A30A30所以二次型1二次型矩阵123328
是正定的
69
f《线性代数》第五章习题解答
252260的顺序主子式：A50A260A800所以二2二次型矩阵123204
次型是负定的14t取何值时，下列二次型是正定的：
221fx12x25x32tx1x22x1x34x2x3222fx122x2tx32x1x24x1x36x2x3
解1由A21t0A35t4t0知
22
4t05
2由A110A210A3t50知t515试证下列结论成立1设A是正定矩阵矩阵A与B合同则矩阵B也是正定矩阵2实对称矩阵A是正定矩阵的充要条件是存在可逆矩阵P使得APP
T
3若A是正定矩阵则A1也是正定矩阵4设A是m×
矩阵A的秩RA
则ATA是正定矩阵证1存在可逆矩阵C使得CACB令XCY对任意矩阵Y≠0必有X≠0所以
T
YTBYYTCTACYXTAX≥0从而B是正定矩阵
2由定理4知A正定的充要条件是A与单位矩阵E合同即存在可逆矩阵P使得APP
T
3由上一小题知存在可逆矩阵P使得APP于是APPPP令QP
T
1
T
1
1
1T
1T
则AQQ由于Q是可逆的所以A1是正定的
1T
4设fXAAXAXAX对任意矩阵X≠0因为RA
故必有AX≠0从而
TTT
f0即ATA是正定的
16试证明实二次型fx1r