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《2007考研数学必做主观题500题精析》
“第一部分高等数学”部分好题精解下载
书中第9页例13【例13】设limux0，limvx∞，而limuxvxk．】
x→x0x→x0x→x0
求证lim1ux
x→x0
vx
ek．
gxx→x0x→x0
［证明］熟知当limfxA0，而limgxB，则有limfx证明］
x→x0
AB．因为
x→x0
lim1ux
vx
1lim1uxuxx→x0
uxvx
由极限公式lim1zze，可知底数部分的极限为lim1uxuxe，由题设条件，
11z→0x→x0
指数部分的极限为limuxvxk，故命题成立．
x→x0∞注由例中证明的事实，我们给出简化1型不定式的步骤如下：
1．将底数改写成1ux的形式，定出ux；2．计算出ux与指数vx的乘积的极限：limuxvx并记这个极限为k；
x→x0
3．定出原1∞型不定式的极限的值lim1ux
x→x0
vx
ek
书中第14页例25【例25】设a1a2La
为
个正常数，求极限】
xxaxa2La
xlim1x→0
1
［详解］式中底数部分可改写成详解］
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xxxxa1xa2La
ax1a21La
111






i12L

对于a0，由罗必达法则知，lim
a1ax1l
a，于是，limil
aix→0x→0xx
x
a故lim
x→0
x1
xx11a21La
11
∑l
ail
a1a2La

x
i11




xx1axa2La
x从而lim1a1a2La
．x→0

6fxsi
6xxfx2，求lim．3x→0x→0xx2si
6xxfx6fxsi
6x6xsi
6x6x分析］，而lim可由罗必达法［分析］由于323x→0xxxx36fxsi
6x6x则或泰勒公式算出，lim可转化为lim的计算．2x→0x→0xx36fxsi
6xxfxsi
6x6x解法一］．而［解法一］因x2x3x3si
6x6x6cos6x636si
6xlim＝lim＝lim36．32x→0x→0x→06xx3x6fxsi
6xxfxsi
6xr