曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于A，B两点，
AB43，则C的实轴长为（）
A．2
B．22
C．4
D．8
f【解析】设等轴双曲线
C
的方程为
x2a2

y2a2
1，
即x2y2a2（a0），抛物线y216x的准线方程为x4，
联立方程

x
2

y2

a2
，解得
y2
16

a2，
x4
因为AB43，所以AB22y24y248，从而y212，
所以16a212，a24，a2，因此C的实轴长为2a4，故选择C．
【2011，7】设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于AB两点，AB为
C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）
A．2
B．3
C．2
D．3
解析：通径AB2b22a得b22a2a2c22a2，选Ba
二、填空题【2017，15】已知双曲线C：x2y21（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A
a2b2与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN60°，则C的离心率为________．（15）【解析】如图，OAa，ANAMb，
∵MAN60，∴AP3b，OPOA2PA2a23b2，
2
4
AP∴ta
OP
3b
2
，又∵ta
b，∴
a23b2
a
4
3b2a23b2

ba，解得a2
3b2，∴e
4
1
b2a2

1123；33
【法二】如上图可知Aa0到渐进线bxay0的距离为dAPabab，a2b2c
ab
又AN

AM
bAMN60cosAMNcos302

APAN

cb

ac

1e
，e

2
33
；
【法三】如图在等边三角形AMN中AP3bFHb2
3b
由OAPOFH知a2ea23；
cb
c3
f【法四】如图，由等面积法可得，在三角形OAN中，
ab1c3bec23；
222
a3
【法五】因为AMbOAa且渐进线ybx可得三角形OAN为a
双曲线三角线（即三边分别为abc），有几何意义易得MAPMOA30
ta
MOAba
3e3
1


ba
2


233
；
【2015，14】一个圆经过椭圆x2y21的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为164
解析：由椭圆的性质可知，圆只能经过短轴顶点和右顶点三个点020240；
（方法一）设圆的半径为r，则有4r222r2，可得r5，故所求圆的标准方程为2
x32y225
2
4
（方法二）设圆的标准方程为xa2y2r2a0，代入点0240，解方程组可得
a3r5半径为r，故所求圆的标准方程为x32y225
2r