随机过程部分习题答案
习题2
21设随机过程XtVtbt0b为常数，VN01，求Xt的一维概率
密度、均值和相关函数。
解因VN01，所以EV0DV1，XtVtb也服从正态分布，
EXtEVtbtEVbb
DXtDVtbt2DVt2
所以XtNbt2，Xt的一维概率密度为
fxt
1
xb2
e2t2
x，t0
2t
均值函数mXtEXtb
相关函数RXstEXsXtEVsbVtb
EstV2bsVbtVb2
stb222设随机变量Y具有概率密度fy，令XteYt，t0Y0，求随机过程Xt的
一维概率密度及EXtRXt1t2。解对于任意t0，XteYt是随机变量Y的函数是随机变量，根据随机变量函数的分
布的求法，FxtPXtxPeYtxPYtl
x
l
x
l
x
l
x
PYt1PYt1FYt
对x求导得Xt的一维概率密度
fxt

l
xfYt
1xt
，t
0
均值函数
mXtEXtEeYt
eytfydy
0
相关函数
WORD版本
f
RXt1t2EXt1Xt2EeYet1Yt2EeYt1t2
eyt1t2fydy
0
23若从t0开始每隔1秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程2
costt时刻抛得正面
Xt2t
t时刻抛得反面
试求：（1）Xt的一维分布函数F1x和F1x；2
（2）
X
t

的二维分布函数
F

12
1
x1

x2

；
（3）Xt的均值mXtmX1，方差

2X
t

2X
1
。
解（1）t1时，X1的分布列为
2
2
X1
0
1
2
P
1
1
2
2
一维分布函数
0
F

12

x

1

2

1
x00x1x1
t1时，X1的分布列为
1
2
X1
P
1
1
2
2
一维分布函数
0
F1
x

12

1
x11x2x2
（2）由于X1与X1相互独立，所以X1X1的分布列为
2
2
X1
1
2
X12
WORD版本
f
0
1
1
4
4
1
1
1
4
4
二维分布函数
0
1
F

12
1
x1

x2


41

2
1
x10或x210x111x220x11x22或x111x22
x11x22
（3）
mX
t

12
cos
t

12

2t

12
cos
t

t
1mX12

2X
t

EX
2tEXt2

1cos22
t
12t22
1cos2
tt2
1cos2t2t21cos2tt2tcost
2
4
1cos2tt2tcost4
1costt22

2X
1

94
24设有随机过程XtAcostBsi
t，其中为常数，AB是相互独立且服从
正态分布N02的随机变量，求随机过程的均值和相关函数。
解因AB独立，AN02，BN02
所以，EAEB0DADB2
均值mXtEXtEAcostBsi
t
costEAsi
tEB0
相关函数
RXt1t2EXt1Xt2EAcost1Bsi
t1Acost2Bsi
t2
EA2cost1cost2B2si
t1sr