第9课时三角函数的最值
典型例题例1求下列函数的最值．
⑴y＝si
2xsi
x；⑵y＝2cos＋x＋2cosx；⑶y1si
x．
1cosx
3
3cosx
解：1y＝2si
xcosxsi
x2cos2x2cosx＝2cosx121
1cosx
22
∴当cosx＝1时，ymi
1∵cosx≠1∴函数y没有最大值。
2
2
2y＝2cosx2cosx2coscosx2si
si
x2cosx3cosx－3si
x23cosx
3
3
3
6
∴当cosx＝－1时，ymi
＝－23当cosx＝1时，ymax＝23
6
6
3由y1si
x得si
x－ycosx＝3y－1∴y21si
x＝3y－1ta
＝－y
3cosx
∵si
x＋≤1∴3y－1≤y21解得0≤y≤3
4
注：此题也可用其几何意义在求值域．变式训练1：求下列函数的值域：
故y1si
x的值域为0，3
3cosx
4
（1）ysi
2xsi
x（2）ysi
xcosxsi
xcosx（3）y2cosx2cosx
1cosx
3
解（1）y2si
xcosxsi
x2cosx1cos2x2cos2x2cosx2cosx121
1cosx
1cosx
22
于是当且仅当cosx1时取得ymax4但cosx≠1∴y＜4，且ymi
1当且仅当cosx1时取得
2
2
故函数值域为

12
4
（2）令
tsi
xcosx则有
t212si
xcosx即
si
xcosx
t
212

有yfttt211t121又tsi
xcosx2si
x，∴2≤t≤2
22
4
故yft
1t121
2
2≤t≤
2从而知：f1≤y≤f
2即1≤y≤
2

12
即函数的值域为
1
2

12

（3）y2cosx2cosx2coscosx2si
si
x2cosx3cosx
3
3
3
3si
x2
3

32
cos
x

12
si

x

2
3cosx
6
∵cosx≤1∴该函数值域为［23，23］
6
例2试求函数y＝si
x＋cosx＋2si
xcosx＋2的最大值与最小值，又若x0呢？
2
解：令t＝si
x＋cosx则t∈－2，2又2si
x＋cosx＝si
x＋cosx2－1＝t2－1
∴y＝t2＋t＋1＝t＋
12
2＋
34
，显然
ymax＝3＋
2若x∈0，
2
则t∈1，2
y＝t＋1＋3在1，2单调递增．当t＝1即x＝0或x＝时，y取最小值3．当t＝2即x＝时，y取
24
2
4
最大值3＋2．
变式训练2：求函数fxxcosxsi
xcosx
x


4

34

的最大值和最小值．
1
f点拔：三角函数求最值一般利用三角变形求解，此题用常规方法非常困难，而用导数求最值既方便又简单．
解：fx＝x－1si
2x＋cos2x－1∴fx＝1＋2si
2x－∵x∈－，3∴2x－∈－3，5
2
2
4
44
4
44
令fx＝0得si
2x－＝－2∴x＝0，－，3∵f0＝－1，而f－＝－
4
2
44
4
4
∴当x＝3
4
时，fxmax＝
34
当x＝0时，fxmi
＝－1
1
例3已知si
x＋si
y＝3，求si
y－cos2x的最大值．
f3＝3
4
4
解：∵si
x＋si
y＝1∴si
y＝1si
x∴si
y－cos2x＝1si
x－1－si
2x＝2si
xr