以CH为直径的圆上，FCBDEH。
同理，E、D在以AB为直径的圆上，
可得BEDBAD。BADBCF，又ABD与BCF有公共角DBF，BFCADB90，即CHAB。过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是ABC的外接圆，圆心O为三角形
的外心。三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点。练习11求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形。
2．（1）若ABC的面积为S，且三边长分别为a、b、c，则的内切圆的半径
是
。并请说明理由。
（2）若Rt三边长分别为a、b、c（其中c为斜边长），则的内切圆的半径
是
。并请说明理由。
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322几种特殊的三角形
等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一。因而在等腰ABC中，三角
形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上。
图3210
图3211
图3212
图3213
例5在ABC中，ABAC3BC2求（1）ABC的面积及AC边上的高BE；（2）ABC的内切圆的半径r；（3）ABC的外接圆的半径R。
解（1）如图，作ADBC于D。ABACD为BC的中点，
ADAB2BD222
SABC

1222
22
2
又SABC

12
AC
BE解得BE

423
。
（2）如图，I为内心，则I到三边的距离均为r，连IAIBIC，
SABCSIABSIBCSIAC，
即221ABr1BCr1CAr，
2
2
2
解得r2。2
（3）ABC是等腰三角形，外心O在AD上，连BO，
则RtOBD中，ODADROB2BD2OD2
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R222R212解得R928
在RtABC中，A为直角，垂心为直角顶点A，外心O为斜边BC的中点，内心I在三角形的内部，且内切圆的半径为bca（其中abc分别为三角形的三边BCCAAB
2
的长），为什么？
该直角三角形的三边长满足勾股定理：AC2AB2BC2。
例6如图，在ABC中，ABAC，P为BC上任意一点。求证：AP2AB2PBPC。证明：过A作ADBC于D。在RtABD中，AD2AB2BD2。
在RtAPD中，AP2AD2DP2。
AP2AB2BD2DP2AB2BDDPBDDPABACADBCBDDC。
图3214
BDDPCDDPPC。AP2AB2PBPC。
正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心。
例7已知等边ABC和点P，设点P到三边AB，AC，BC的距离分别为h1h2h3，ABC的高为h，r