于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABFα，
且
，则该椭圆离心率e的取值范围为（）
A．
B．
C．
D．
30．已知P为椭圆
（a＞b＞0）上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若使△PF1F2为直角三角形的点P
有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（）
A．（0，）
B．（，1）
C．（1，）
D．（，∞）
4
f参考答案与试题解析
1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值范围是（）
A．，1）
B．，1）
C．（0，
D．（0，
解：如图所示，下面证明椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点．
设椭圆上任意一点P（x0，y0），则
，可得
．
∴OP2


≥b2，当且仅当x00时取等号．
∴椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点．
若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则c≥b，∴c2≥b2a2c2，化为
，解得
．
又e＜1，∴
．
故选B．
2．二次曲线
时，该曲线离心率e的范围是（）
A．
B．
C．
D．
解：∵m∈2，1，∴该曲线为双曲线，a2，b2m，
∴c
离心率e
∵m∈2，1，
∴
∈，，
∴e∈故选C
5
f3．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA90°，则该椭圆的离心率e的范围是（）
A．，1）
B．（，1）
C．
，
）
D．（0，）
解：可设椭圆的标准方程为：
（a＞b＞0）．
设P（x，y），∵∠OPA90°，∴点P在以OA为直径的圆上．
该圆为：
，化为x2axy20．
联立
化为（b2a2）x2a3xa2b20，
则
，解得
，
∵0＜x＜a，∴
，
化为c2＞b2a2c2，
∴
，又1＞e＞0．
解得
．
∴该椭圆的离心率e的范围是
．
故选：C．
4．双曲线
的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（）
A．（∞，0）
B．（3，0）
C．（12，0）
解：∵双曲线
的离心率e∈（1，2），
D．（60，12）
∴双曲线标准方程为：1∴k＜0，
∴1＜e2＜4，1＜＜4，12＜k＜0，
故答案选C
5．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
解：F1（c，0），F2（c，0），c＞0，设P（x1，y1），则PF1aex1，PF2aex1．
6
f在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°
，
解得x12
．
∵x12∈（0，a2，∴0≤
＜a2，即4c23a2≥0．且e2＜1
∴e≥．
故椭圆离心率的取范围是e∈
．
故选A．
6．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值范围
（）
A．
B．
C．
D．
r