x4x57
3x1

2x2x2

x32x3
x42x4

3x56x5

223
5x14x23x33x4x512
3（15分）用正交变换化二次型f2x123x223x324x2x3为标准形
3
f得分评卷人
四、证明题（共30分）
1（10分）A是二阶矩阵，A0，证明A能够对角化
2（10分）已知α1α2α3是AXo的一个基础解系，证明α1α2α2α3α3α1也是该方程组的一个基础解系
3（10分）正交向量组12m是线性无关的向量组
4
f《线性代数》试卷（A卷）
参考答案与评分标准
一、填空

1
112
28；
3E；
41；
5111；6A；632
7
个线性无关的特征向量；83；9正负惯性指标；10内积
二、单项选择题
1b
2c
3b
4b
5d
三、计算题
1解行列式的第一列元素为1，－1，1，－1，而第二列元素的代数余子式为A12A22A32A42A12A22A32A42即为行列式的第一列元素为1，－1，1，－1与第二列元素的代数余子式为A12A22A32A42对应乘积之和
由行列式的性质，
5分
A12A22A32A420
10分
2解1）求特解对方程组的增广矩阵A作行初等变换，将其化为简化行阶梯形矩阵
1111171011516
A


A
b


3
2
1
1
3
2

0
1
2
2
6
23

0122623000000

5
4
3
3
1
12


0
0
0
0
0
0

由此可见，由于rArA25（未知量的个数），故方程组有无穷多解，且与其同解的方
程组为
5
f
x1x2

x32x3

x42x4

5x56x5

1623
令x3x4x5T000T，得方程组的一个特解
η01623000T
5分
2）求导出方程组的基础解系根据1）中增广矩阵A中的系数矩阵A的初等变换结果，导出
方程组同解于

x1x2

2
x3x3

x42x4

5x56x5

00
因rA25（未知量的个数），故导出方程组有无穷多解，且方程组自由未知量个数为

rA523，选取x3x4x5为自由未知量，并分别令
x3100

x4



0


1



0

，
x5001
代入方程组，则得导出方程组的一个基础解系
1

2
ξ1

1

0
0
1

2

ξ2

0
r