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线性代数期末考试试卷参考答案（线性代数期末考试试卷参考答案（B卷）（理工类）理工类
一、单项选择。（16分＝4分×4）1D2B二、填空题。（16分＝4分×4）50，06
3B
4A
01A
B10
7
2
8
6
三、解答下列各题（21分＝7分×3）9解：所求的逆序数为
t
1
21
10证：∵ATA

12
7分
∴BTABTBTATBBTAB∴BTAB是对称矩阵
（7分）
112
11解：当A2
4
1k
3k17≠0，即k≠17时，RA31
（3分）
当Ak170，即k17是，RA3四、解答下列各题（40分＝10分×4）
（7分）
λ
12解：当1
1
1
10时，方程组有非零解。（5分）121
11
λ1120∵1100λ1121121
∴当λ1或0时，方程组有非零解。
13解：∵ABEA2B（10分）
λ
1011001022∴AEBAE020010030001001201
2
（5分）
f0∵AEAE011002r1r301000011
2
011021003000201013002
201∴B030102x114解：设A相应于特征值2的特征向量为ξx2x3
∵实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量是相互正交的。
10分
∴ξP0即1
x1x2x30
（5分）
从而A属于λ2的特征向量为
1ξ110
相应于2的所有特征向量为：
1ξ201
11ξc11c20，01
c1c2∈IR
（10分）
1141r22r11421309515解：∵a1a2a3154r3r1095367r43r101810
141r3r2095000r42r2000
∴向量组a1a2a3的秩为2，a1a2是一个最大无关组。
（6分）
（10分）
f五、综合题（7分）
12216解：（1）设A21λ由题设B≠0且有AB0即方程组311
AB0有非零解
1λ4∴A21λ05λ4515311055
51λ0
故λ1（4分）
1
2
2
1
2
2
122（2）由λ1知A211从而RA2311r