江苏省南京师大附中2020届高三数学模拟考试试卷及答案
一填空题
南师大《数学之友》
1
已知



且cos


3
，则
ta


的值为
▲

2
5
24
2在平面直角坐标系xOy中，设A是曲线C1：yax31a0与曲线C2：
x2y252
的一个公共点，若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，则实数
a的值是
▲
3
椭圆
C

x2a2

y2b2
1ab0的左右焦点分别为F1F2，若椭圆上恰好有6个不同的点
P使得F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是▲
4已知AB2AC3BAC60CD2BCAExAD1xABx01，
则AE在AC上的投影的取值范围是▲
5设函数
f
x

12x10

xx

02
，
若函数gx
f
xax，x22为偶函数，则
实数a的值为▲
6各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有▲
项．
二、解答题
7在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝64，圆O1与圆O相交，圆心为O190
1经过O1作圆O的切线，求切线方程；
2过定点P60作动直线l与圆O，圆O1都相交，且直线l被圆O，圆O1截得的弦长分别为d，d1
若d与d1的比值总等于同一常数λ，求λ的值和圆O1的方程．
8某港湾的平面示意图如图所示，直线l1、l2是两条海岸线，点O为l1、l2交点，A位于O的正南方向6km处，B位于O的北偏东60方向10km处．1求集镇A，B间的距离；2随着经济的发展，为缓解集镇O的交通压力，拟在海岸线l1，l2上分别修建码头M、N，开辟水上航
f线．勘测时发现：以O为圆心，3km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头M、N的位置，使得M、N之间的直线航线最短．
9有
个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为amkmk123
≥3公差为dm，
并且a1
a2
a3
a
成等差数列．
（1）证明dm2md1m1d2；
（2）设
d1
1
d2

3
，当



6
时，不等式
150
2


32
1

d

恒成立．
10已知函数fxax1bl
x（abR），gxx2x
1若a1，曲线yfx在点1f1处的切线与y轴垂直，求b的值；2在（1）的条件下，求证gxfx2l
2；3若b2，函数fx与gx在其公共点处是否存在公切线若存在，求出a值的个数；若不存在，
说明理由
理科加试
11在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且
D1EEO
（1）若1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；
D1
（2）若平面CDE平面CD1O，求的值
A1E
C1B1
DC
A
OB
f12
如图，椭圆C1：
r