矩阵的相似与合同及其等价条件研究
（数学与统计学院09级数学与应用数学一班）指导老师：王晶晶
引言
矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用110，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化9，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助
1
矩阵的等价与相似及其合同的基本概念
11矩阵等价的定义1定义11的由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到：定义12B是等价的述：定义13设矩阵AB为
阶矩阵，如果存在
阶可逆矩阵P和Q使得PAQB如果
阶矩阵A可以由
阶矩阵B进过有限次初等变换得到，则称A与如果矩阵A可以有矩阵B经过有限次初等变换得到，称A与B是等价
根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描
则称矩阵A与B等价，记作A∽B12矩阵相似的定义2定义14设矩阵A，B为
阶矩阵，如果存在一个是
阶可逆矩阵P，使得
P1APB则称矩阵A与矩阵B相似，记作A～B
121

阶矩阵的相似关系，具有下列性质3
性质11性质12性质13性质14
反身性，即任一
阶矩阵A与自身相似对称性，即如果A～B，则B～A传递性，如果A～B，B～C，则A～C
P1k1A1k2A2Pk1P1APk2A2P
1
（kk是任意常数）12
f宿州学院毕业论文
矩阵的相似与合同及其等价条件研究
性质15性质16
P1A1A2PP1A1PP1A2P
若矩阵A与矩阵B相似，则Am与Bm相似（m为正整数）
证明存在一个可逆矩阵P，使得P1APB，那么P1AP可以得到Am与相Bm相似性质17证明


m
BmP1AmP，故
如果矩阵A、B都是满秩，则A～B，那么B～A
1
1
存在一个可逆矩阵P，使得P1APB，那么P1AP
11


1
B1P1A1P，
故可以得到B～A性质18证明如果矩阵A～B，那么AB
存在一个可逆矩阵P，使得P1APB，又因为P1APB，P1P1，
故可以得到AB性质19逆矩阵也相似证明也相似若B不可逆，则P1AP不可逆，即A也不可逆性质110证明相似矩阵有相同的特征值设BP1AP，若矩阵B可逆，B1P1AP相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆并且当它们都可逆时候，它们的


1r