P1A1P，从而B1和A1
设BP1AP，EBP1EPP1AP
P1EAP
EA
故矩阵A的特征值与矩阵B有相同的特征值性质111证明相似矩阵有相同的迹
可以设矩阵A与矩阵B相似，那么存在一个可逆矩阵P使得P1APB，
trBtrP1AP


2
f宿州学院毕业论文
矩阵的相似与合同及其等价条件研究
trP1PA
trA


例1
2030A03，B02，求分别求矩阵A、B的特征多项式，特征值秩
迹，行列式，矩阵A与B是否相似，它们之间有什么关系？解从已知可知A
20036，Ra
kA2trA5
对于A的特征多项式EA故A的特征值为2和3对于矩阵BB
3002
2
0
0
3
23
6，Ra
kB2trB5
矩阵B的特征多项式B
3
0
0232
故矩阵B的特征值是2和3
011存在一个可逆矩阵P10使得PAPB，从定义矩阵B与矩阵A相似
从结果看到相似矩阵有相同的特征多项式、相同的特征值、相等的行列式的值、相等的迹24例2
124设实数域上的3级实对称矩阵A242，对角矩阵421
500B050求矩阵A、B的特征值，特征多项式并且矩阵A与矩阵B相似吗？如004
果相似求出可逆矩阵P
1
解由矩阵A的特征多项式为24
2
421
1
20
2
4
4
2
422101
3
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矩阵的相似与合同及其等价条件研究
1
20
2
42
4
0
1
524
故矩阵A的特征值为5和4容易知道矩阵B的特征多项式和矩阵A的相同，
15525故矩阵B的特征值为5和4那么存在一个可逆矩阵PP5045152515153231323
验证得到P1APB，那么矩阵A与矩阵B相似，它们有相同的特征值和特征多项式13矩阵合同的定义2定义15设A，B为
阶矩阵，如果存在一个
阶可逆矩阵C，使得CTACB，
则称A与B合同，记作AB
阶矩阵的合同关系具有下列性质：
⑴反身性⑵对称性⑶传递性
即任一
级矩阵与自身合同即如A与B合同，则B与A合同
A与B合同，B与C合同，则A与C合同
⑷合同的两矩阵有相同的二次型标准型⑸任何一个实对称矩阵合同r