向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）OAOBOC0O是ABC的重心证法1：设OxyAx1y1Bx2y2Cx3y3
x1x2x3xx1xx2xx3x03OAOBOC0y1yy2yy3y0yy1y2y33OABC是的重心
证法2：如图
A
OAOBOCOA2OD0AO2ODA、O、D三点共线，且O分AD
为2：1O是ABC的重心
B
O
E
D
C
（2）OAOBOBOCOCOAO为ABC的垂心证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足
OAOBOBOCOBOAOCOBCA0
OBAC
A
EO
同理OABC，OCAB
O为ABC的垂心
（3）设abc是三角形的三条边长，O是ABC的内心
B
D
C
aOAbOBcOC0O为ABC的内心
证明：
ABAC、AC方向上的单位向量，、分别为ABcbABAC平分BACcbABACbc，令AOabccb
f
AO
ABACbc（abccb
化简得abcOAbABcAC0
aOAbOBcOC0
（4）OAOBOCO为ABC的外心。典型例题：例1：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OPOAABAC，0，则点P的轨迹一定通过ABC的（
A．外心B．内心C．重心D、EABC分析：如图所示，分别为边BC、AC的中点D．垂心
A
）
ABAC2AD
E
OPOA2AD
OPOAAPAP2AD
B
D
C
APAD
点P的轨迹一定通过ABC的重心，即选C
例2：（03全国理4）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOAA．外心分析：
ABAB

ACAC
，0，则点P的轨迹一定通过ABC的（B）
C．重心D．垂心
B．内心
AB
AC、、AC方向上的单位向量，分别为ABABACACAC
平分BAC

ABAB

点P的轨迹一定通过ABC的内心，即选B
例3：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OPOAr