向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合
一、1．O是ABC的重心OAOBOC0（1）OAOBOC0O是ABC的重心
OBAC
同理OABC，OCAB
O为ABC的垂心三、O是ABC的内心充要条件是：
OAABABACACOBBABABCBCOCCACACBCB0
引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记ABBCCA的单位向量为e1e2e3，则刚才O是ABC内心的充要条件可以写成
OAe1e3OBe1e2OCe2e30
。
，
OAOBOCOA2OD0AO2ODA、O、D三点共线，且O分AD为2：1O是ABC的重心（2）PG1PAPBPCG为ABC的重心
（3）若O是ABC的重心，且OxyAx1y1Bx2y2Cx3y3
1O是ABC内心的充要条件也可以是aOAbOBcOC02若O是ABC的内心，则SBOC：SAOC：SAOBa：b：c故
aOAbOBcOC0或si
AOAsi
BOBsi
COC0
3
xxxx1233则yy1y2y33
（4）若O是ABC的重心，则SBOC
1SAOCSAOBSAOC3
ABPCBCPACAPB0P是ABC的内心AC0所在直线过ABC的内心是BAC的角平分线所在直线AB向量ABAC（3）设abc是三角形的三条边长，O是ABC的内心aOAbOBcOC0O为ABC的内心
证明：“必要性”：
ABAC、分别为AB、AC方向上的单位向量，cb
A
二、O是ABC的垂心OAOBOBOCOCOA
ta
B：ta
C若O是ABC非直角三角形的垂心，则SBOC：SAOC：SAOBta
A：
故ta
AOAta
BOBta
COC0（2）OAOBOBOCOCOAO为ABC的垂心证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足
ABAC平分BACcbbcABAC，令AOabccbbcABAC（AOabccb化简得abcOr