向量与三角形的重心、垂心、内心、外心的关系
一、四心的概念介绍、（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四线与向量的结合
1定理：如图，设OP1OA2OB
则1

2
1，且1
PBAB

2

PAAB
记忆交叉分配系数
2若M是OP上的任意一点，则OMOAOB记忆分母对应分配系数APBP
应用1（1）中线
（2）高线
（3）角平分线
（4）中垂线
应用2四线上的动点表示
1中线上的动点ABAC或ABACABsi
BACsi
C
2高线上的动点ABACABcosBACcosC
3角平分线上的动点ABACABAC
4中垂线上的动点OPOBOCABAC
2
ABcosBACcosC
f三、四心与向量的结合1
定理：设O是ABC内任意一点，则SBOCOASAOCOBSAOBOC0
（记忆：拉力平衡原则）应用
（1）O是ABC的重心SBOC：SAOC：SAOB1a：11b：cOAOBOC0
（2）O为ABC的垂心SBOC：SAOC：SAOBta
A：ta
B：ta
C
ta
AOAta
BOBta
COC0（3）O为ABC的内心SBOC：SAOC：SAOBa：b：csi
Asi
Bsi
C
aOAbOBcOC0或si
AOAsi
BOBsi
COC0aOAbOBcOC0（4）O为ABC的外心
SBOC：SAOC：SAOBsi
BOC：si
AOC：si
AOBsi
2Asi
2Bsi
2C
si
2AOAsi
2BOBsi
2COC0
2四心的向量表示：
（1）O是ABC的重心

PO

13
PA

PB

PC
（2）O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA（3）O为ABC的内心
OAABACOBBCBAOCCACB0
ABAC
BCBA
CACB
（4）O为ABC的外心OAOBOC
四．典型例题：一、与三角形“四心”相关的向量问题
题1：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OPOA
AB

AC

0则P点的轨迹一定通过△ABC的
ABAC
A外心
B内心
C重心
D垂心
题2：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OPOAABAC0则P点的轨迹一定通过△ABC的
A外心
B内心
C重心
D垂心
题3：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OPOAABAC0则动点P的轨迹一定通过△ABC的
ABsi
BACsi
C
fA重心
B垂心
C外心
D内心
题4：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OPOAABAC0则动点P的轨迹一定通过△ABcosBACcosC
ABC的
A重心
Br