同济大学高等数学（下）期中考试试卷1
一填空题（每小题6分）1有关多元函数的各性质：（A）连续；（B）可微分；（C）可偏导；（D）各偏导数连续，
它们的关系是怎样的？若用记号“XY”表示由X可推得Y，则
（）（）
2函数fxyx2xyy2在点11处的梯度为
数中的最大值是

，该点处各方向导
3设函数Fxy可微，则柱面Fxy0在点xyz处的法向为
，平面
Fxy0
曲线
z0在点xy处的切向量为

1
4设函数
fxy连续，则二次积分
dx
2
si
x
fxydy

1
dy
fxydx
A0arcsi
y
；
1
arcsi
y
dy
C0
fxydx；
1
dy
fxydx
B0arcsi
y
；
1
arcsi
y
dy
D0
fxydx

二（6分）试就方程Fxyz0可确定有连续偏导的函数yyzx，正确叙述隐
函数存在定理三计算题（每小题8分）
1设zzxy是由方程fxzyz0所确定的隐函数，其中fuv具有连续
的偏导数且
fu

fv

z0，求x

zy
的值
2设二元函数fuv有连续的偏导数，且fu10fv101又函数uuxy与
xaubv
v

vx
y
由方程组

y
aubv（a2
b2
0）确定，求复合函数z

fuxyvxy
z
z
的偏导数xxyaa，yxyaa
f3已知曲面z1x2y2上的点P处的切平面平行于平面2x2yz1，求点P处
的切平面方程
si
xd
4计算二重积分：Dy，其中D是以直线yx，y2和曲线y3x为边界
的曲边三角形区域
x2y2dxx2y2dy
5求曲线积分L
，L为曲线y11x沿x从0增大到2
的方向
五（10分）球面被一平面分割为两部分，面积小的那部分称为“球冠”；同时，垂直于
平面的直径被该平面分割为两段，短的一段之长度称为球冠的高证明：球半径为R高为h
的球冠的面积与整个球面面积之比为h2R
六（10分）设线材L的形状为锥面曲线，其方程为：xtcost，ytsi
t，zt
（0t2），其线密度xyzz，试求L的质量
七（10分）求密度为的均匀柱体x2y21，0z1，对位于点M002的
单位质点的引力
同济大学高等数学（下）期中考试试卷2
一简答题（每小题8分）
xtcost

y
1求曲线z
3si
2t1cos3t
在点2

31
处的切线方程
2方程xyzl
yexz1在点011的某邻域内可否确定导数连续的隐函数zzxy或yyzx或xxyz？为什么？
3不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路：
x2设椭球面a2

y2b2
z2c2

1
与平面
Ax

By

Cz

D

0
没有交点，求椭球面与平面
之间的最小r