柯西不等式的证明及应用
（河西学院数学系01（2）班甘肃张掖734000）摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问摘要题迎刃而解。本文在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的应用方面给出几个例子。关键词：柯西不等式证明应用关键词中图分类号：O178中图分类号Ide
tificatio
a
dapplicatio
ofCauchyi
equalityChe
Bo（departme
tofmathematicsHexiu
iversityzha
gyega
su734000））AbstractCauchyi
equalityisaveryimporta
ti
equatio
flexiblei
ge
iousapplicatio
itca
makesomecomparativelydifficultproblemseasilysolvedThistextprovei
equalitysolvetria
glereleva
tproblemisitworthmosttoasktheapplicatio
whichsolvessuchquestio
sastheequatio
etcprovidesseveralexamplesKeyword：i
equatio
proveapplicatio
12
柯西（Cauchy）不等式
a1b1a2b2La
b
2≤a12a22La
22b12b22Lb
22aibi∈Ri12L
等号当且仅当a1a2La
0或bikai时成立（k为常数，i12L
）现将它的证明介绍如下：证明1：构造二次函数fxa1xb1a2xb2La
xb
222
2
2
a12a2La
x22a1b1a2b2La
b
xb12b2Lb
2
Qa12a2La
≥0




∴fx≥0恒成立
2
Q4a1b1a2b2La
b
4a12a2La
b12b22Lb
≤02
即a1b1a2b2La
b
≤a1a2La
222



b
21

b22Lb

当且仅当aixbix0i12L
证明（2）数学归纳法（1）当
1时显然左式右式左式a1b1
2
即
aa1a2L
时等号成立b1b2b
右式a1b1
2
f当

2时，
22
右式
22a12a2b12b22a1b1a2b2a2b12a12b2222
2
≥a1b1a2b22a1a2b1b2a1b2a2b2右式
仅当即a2b1a1b2即
a1a2时等号成立b1b2
故
12时不等式成立（2）假设
kk∈Νk≥2时，不等式成立即
a1b1a2b2Lakbk
2
2k2≤a12a2Lakb12b2Lbkk
当bikai，k为常数，i12L
或a1a2Lak0时等号成立设Αa1a2Lak
222
Βb12b22Lbk2
Ca1b1a2b2Lakbk
2则Αak1

ΒbΑΒΑb
2k1
2k1
ak21bk21
2
2≥C22Cak1bk1ak1bk21Cak1bk1
2∴a12a2Lak2ak21b12b22Lbk2bk21
≥a1b1a2b2Lakbkak1bk1
2
当bikai，k为常数，i12L
或a1a2Lak0时等号成立即
k1时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以r