与每个都正交的向量
wjAvjh1jv1h2jv2hjjvj
而不难看出hijAvjvii12
j
，再记
hj1j
wjwj
12
，得到与
v1v2vj都正交的向量vj1wj，重复此过程，即可得到一组标准
hj1j
正交基。若期间某个j使得hj1j0，则说明v的次数是j，且j是A
的不变子空间。
Ar
oldi算法：
（1）取向量v1，满足v11j1
（2）按（2）式计算hiji12j，再按（1）式计算wj（3）按（3）式计算hj1j，若hj1j0，则停止，否则按（4）式计算vj1（4）若jm，则jj1，转（2），否则停止
wjAvjh1jv1h2jv2hjjvj
（1）
fhijAvjvii12j1
hj1jwjwj2
vj1wjhj1j
（2）（3）
（4）
定理：如果记以v1v2vm为列构成的矩阵为Vm由hij定义的m1×m
阶上Hesse
berg矩阵（假设一个
阶矩阵A，在ij1时，它的aij0，
那么这个矩阵A就叫做Hesse
berg矩阵）为Hm删除最后一行得到的
矩阵为，则：Hm
AVmVmHmwm
em
T
Vm1Hm
VmTAVmHm
在Ar
oldi算法中，可能有较大舍入误差，改写：
hijAvjh1jv1hi1jvi1vii12j
修正的Ar
oldi算法：（1）取向量v1，满足v11j1
（2）计算wjAvj
（3）依次对i12j，计算hijwjvi与wjwjhijvi
（4）计算hj1j，若hj1j0，则停止，否则计算vj1（5）若jm，则jj1，转（2），否则停止
FOM（完全正交化）方法
非对称矩阵的FOM方法：
解方程组的投影法的矩阵表示
设
m阶矩阵Vv1v2vm与Ww1w2wm的列分别构成K
与L的一组基。记zx1x0zVy，有WTr0AVy0
当WTAV非奇异时，有yWTAV1WTr0，从而得到迭代公式：
fx1x0VWTAV1WTr0
FOM算法：
（1）计算r0bAx0，
r0r0
，1
2
v1

r0
，置
j
1
（2）计算wjAvj
（3）依次对i12
，计算与j
hijwjvi
wjwjhijvi
（4）计算hj1j，若hj1j0，则置mj，转（6）
（5）计算vj1，若jm，则置jj1，转（2）
（6）按下式计算xm
xm
x0Vmymym

H
1m
e1
不难看出，当采用上述FOM算法时，需要存储所有的vi，i12…
m，当m增大时，存储量以Om
量级增大而FOM计算量是Om2

可见其代价十分高昂因此我们考虑重启的FOM算法
重启型FOM算法：
（1）计算r0bAx0
r0r0
12
v1

r0
（2）生成mAr0的一组标准正交基，得到Hm
（3）按下式计算xm，若xm满足精度要求，则停止，否则置x0xm，
转（1）。xmx0VmymymHm1e1
IOM方法
非对称矩阵的IOM方法
所谓不完全正交化方法IOM是指在正交化过程中vj1仅与最近
k个vjk1vj1vj正r