Krylov子空间的定义：
定义：令RN，由，A，，Am1所生成的子空间称之为由与A所生成的m维Krylov子空间，并记KmAv。
主要思想是为各迭代步递归地造残差向量，即第
步的残差向量
r
通过系数矩阵A的某个多项式与第一个残差向量r0相乘得到。即r
pAr0。
但要注意，迭代多项式的选取应该使所构造的残差向量在某种内
积意义下相互正交，从而保证某种极小性（极小残差性），达到快速
收敛的目的。
Krylov子空间方法具有两个特征：1极小残差性，以保证收敛速
度快。2每一迭代的计算量与存储量较少，以保证计算的高效性。
投影方法
线性方程组的投影方法
方程组AxbA是
的矩阵。给定初始x0在m维空间K右子空
间）中寻找x的近似解x1满足残向量rbAx1与m维空间L左子空
间）正交，即bAx1L，此条件称为PetrovGalerki
条件。
当空间KL时，称相应的投影法为正交投影法，否则称为斜交投
影法
投影方法的最优性：
１误差投影设A为对称正定矩阵x0为初始近似解且KL则x1为
采用投影方法得到的新近似解的充要条件是x1mi
zzx0K
其中


z



A

x

z


x

z

12
f2残量投影设A为任意方阵x0为初始近似解且LAK则x1为采用
投影方法得到的新近似解的充要条件是x1mi
zzx0K其中zbAzbAzbAz122
矩阵特征值的投影方法
对于特征值问题Axx其中A是
×
的矩阵，斜交投影法是在m维右子空间K中寻找xi和复数i满足AxiixiL其中L为m维左子空间当LK时，称此投影方法为正交投影法
误差投影型方法：
取LK的正交投影法
非对称矩阵的FOM方法（完全正交法）
对称矩阵的IOM方法和DIOM方法
对称矩阵的La
czos方法
对称正定矩阵的CG方法
残量投影型方法：
取LAK时的斜交投影法
GMERS方法（广义最小残量法）
重启型GMERS方法、QGMERS、DGMERS
标准正交基方法：
Ar
oldi方法
Ar
oldi方法是求解非对称矩阵的一种正交投影方法。Ar
oldi算
法就是对非对称矩阵A，产生Krylov子空间mAr0的一组标准正交
f基的方法。该算法构造mAr0的一组标准正交基v1v2vm和
Hesse
berg矩阵
h11h12h13

h21
h22
h23
h1m
h2m

h11h12
h13

h21
h22
h23
h1m
h2m

Hm


0


0
h32
h330hmm1

hm1m

hmm

，Hm


0
00
h32
h33

hm
1
m

0hmm1
hmm

0
0
hm1m
基于GramSchmit正交化方法
首先，选取一个Euclid范数为1的向量v1对mA通常可取
1

，在1
v1v2
2
vj已知的情况下不妨设v1v2
vjAvj线性
无关否则构造完毕则可求出r