k22k
314k22k2
1k21k22k
解得k
3913
满足②式此时
x0

53
。
题型三：动弦过定点的问题
例题
3、已知椭圆
C：
x2a2

y2b2
1ab0的离心率为
32
，且在
x
轴上的顶点分别为
A120A220。
（I）求椭圆的方程；（II）若直线lxtt2与x轴交于点T点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1PA2分别
与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论
解：（I）由已知椭圆C的离心率ec3，a2则得c3b1。从而椭圆的方程为x2y21
a2
4
（II）设Mx1y1，Nx2y2，直线A1M
的斜率为k1则直线A1M
的方程为
y

k1
x

2
，由

yk1xx24y2
24
消
y
整理得14k12x216k2x16k1240
2和x1
是
方
程
的
两
个
根
，
2x1

16k12414k12
则
x1

28k1214k12
，
y1

4k114k12
，即点
M
的坐标
为

21
8k124k12

1
4k14k12

，同
理，
设直线
A2N
的斜率为
k2，则得点
N
的坐标为
18k224k222

4k214k22

ypk1t2ypk2t2
k1k22，k1k2t
直线MN的方程为：yy1y2y1，xx1x2x1
令y0，得xx2y1x1y2，将点M、N的坐标代入，化简后得：x4
y1y2
t
又t2，042椭圆的焦点为3043，即t43
t
t
3
故当t43时，MN过椭圆的焦点。3
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题
例题
4、已知点
A、B、C
是椭圆
E：
x2a2

y2b2
1
ab0上的三点，其中点A2
30是椭圆的右顶点，直线BC
过椭圆的中心O，且ACBC0，BC2AC，如图。
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I求点C的坐标及椭圆E的方程；II若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线x3对称，求
直线PQ的斜率。
解：IBC2AC，且BC过椭圆的中心OOCAC
ACBC0ACO2
又A230点C的坐标为33。A230是椭圆的右顶点，a23，则椭圆方程为：
x2y212b2
1
将点C
3
3代入方程，得b24，椭圆E的方程为x2y21124
II直线PC与直线QC关于直线x3对称，设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为k，从而直线PC
的方程为：
y
3kx
3，即ykx
31
k

，由
ykx

x2

3y2
3112
k0

消
y，整理得：
13k2x263k1kx9k218k30
x3是方程的一个根，r