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直线和圆锥曲线常考题型
运用的知识：
1、中点坐标公式：x

x1
x22
y

y1
2
y2
，其中x
y是点
Ax1
y1，Bx2y2的中点坐标。
2、弦长公式：若点Ax1y1，Bx2y2在直线ykxbk0上，
则y1kx1b，y2kx2b，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，
ABx1x22y1y22x1x22kx1kx221k2x1x221k2x1x224x1x2
或者AB
x1x22y1y22
1k
x1

1k
x22
y1

y22

1
1k2

y1

y2
2

1
1k2

y1

y2
2

4
y1y2

。
3、两条直线l1yk1xb1l2yk2xb2垂直：则k1k21两条直线垂直，则直线所在的向量v1v20
4、韦达定理：若一元二次方程ax2

bx
c

0a

0有两个不同的根
x1
x2
，则
x1

x2


ba
x1x2

ca
。
常见的一些题型：
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
例题1、已知直线lykx1与椭圆Cx2y21始终有交点，求m的取值范围4m
解：根据直线lykx1的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆Cx2y21过动点（0，m且m4，如4m
果直线lykx1和椭圆Cx2y21始终有交点，则m1，且m4，即1m且m4。4m
规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：
lykx1过定点（0，1）lykx1过定点（，10）ly2kx1过定点（1，2）题型二：弦的垂直平分线问题例题2、过点T10作直线l与曲线N：y2x交于A、B两点，在x轴上是否存在一点Ex00，使得ABE是等
边三角形，若存在，求出x0；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线lykx1，k0，Ax1y1，Bx2y2。
由

yy
kx2x

1
消
y
整理，得
k
2
x
2
2k2
1xk2
0①
由直线和抛物线交于两点，得
2k2124k44k210
即0k21②4
由韦达定理，得：
x1

x2


2k21k2
x1x2
1。
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则线段
AB
的中点为
2k212k2
1。线段的垂直平分线方程为：2k
y

12k


1k

x

1
2k2k2
2

令
y0得
x0

12k2

12
，则
E12k2

12
0
ABE为正三角形，
E12k2

12
0
到直线
AB
的距离
d
为
32
AB。
AB
x1x22y1y22
14k2k2
1k2d
1r