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第二届中国东南地区数学奥林匹克
第一天
（2005年7月10日8：00－12：00福州）
一、（1）设aR，求证抛物线yx2a2x2a1都经过一个定点，且顶点都落在一条抛
物线上
（2）若关于x的方程x2a2x2a10有两个不等的实根，求其较大根的取值范围
（吴伟朝供题）
二、如图，圆O（圆心为O）与直线l相离，作OPl，PQ是l上任意一点（不与点P重合），过点Q作圆O的两条不同的切线QA和QB，A和B为切点，AB与OP相交于点K过点P作PMQB，PNQA，M和N为
垂足
求证：直线MN平分线段KP（裘宗沪供题）
三、设
是正整数，集合M122
求最小的正整数k，使得对于M的任何一个k元子集，
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其中必有4个互不相同的元素之和等于4
1（张鹏程，李迅供题）
四、试求满足a2b2c22005，且abc的所有三元正整数组abc（陶平生供题）
第二天
（2005年7月11日，8：00－12：00，福州）完整版学习资料分享
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五、已知直线l与单位圆S相切于点P，点A与圆S在l的同侧，且A到l的距离为hh2，从点A作S的两条
切线，分别与l交于BC两点求线段PB与线段PC的长度之乘积
（冷岗松，司林供题）
六、将数集
A
a1a2
a
中所有元素的算术平均值记为PA，（PA

a1
a2
a

）
若B是A的非空子集，且PBPA，则称B是A的一个“均衡子集”
试求数集M123456789的所有“均衡子集”的个数（陶平生供题）
七、（1）讨论关于x的方程x1x2x3a的根的个数（2）设a1a2a
为等差数列，且
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a1a2a
a11a21a
1a12a22a
2507求项数
的最大值（林常供题）
八、设0，且si
3si
3si
31，2
求证：ta
2ta
2ta
233（李胜宏供题）2
第二届中国东南地区数学奥林匹克（答案）
一、（1）令faxx2a2x2a1x22x1ax2，因此，抛物线过定点29，
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且该抛物线的顶点坐标为xa2，ya212a，消去a得yx24x5
2
4
（2）fax0较大的根为
a2x
a22412aa2
a212aa2
a6236
2
2
2
令a62k，则x2k44k236k29k22
当k3时，x5
当k3时，x2
9
，可得1x2
k29k
综上，方程较大的根x的取值r