范围为125
二、如图，作PI⊥AB，I为垂足，记J为直线MN与线段PK的交点
易知∠QAO∠QBO∠QPO90，故O、B、Q、P、A均在以线段OQ为直径的圆周上
由于PN⊥QA，PM⊥QB，PI⊥AB，则由西姆松定理知△QAB的外接圆上一点P在其三边上的垂足N、M、I三点共线，即N、M、J、I四点共线因为QO⊥AB，PI⊥AB，所以QOPI，因此有∠POQ∠IPO又P、A、I、N，P、A、O、Q分别四点共圆，所以∠PIJ∠PAN∠PAQ∠POQ∠IPJ于是，在Rt△PIK中，有∠PIJ∠JPI，则J为PK的中点因此，直线MN平分线段KP
三、考虑M的
2元子集：P
1
12
P中任何4个不同元素之和不小于
1
1
24
2所以k
3
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将M的元素配为
对：Bii2
1i，1i
对M的任一
3元子集A，必有三对Bi1Bi2Bi3同属于A（i1i2i3两两不同）又将M的元素配为
1对：Cii2
i，1i
1对M的任一
3元子集A，必有一对Ci4同属于A这一对Ci4必与刚才三对Bi1Bi2Bi3中至少一对无公共元，这4个元素互不相同，且和为2
12
4
1综上，所求的最小正整数k
3四、由于任何奇平方数被4除余1，任何偶平方数是4的倍数，而2005被4除余1，故a2b2c2
三个数中必有两个偶平方数，一个奇平方数
设a2mb2
c2k1，m
k为正整数（为了计算方便，暂不考虑abc的大小关
系）则原方程可化为m2
2kk1501
①
又因任何平方数被3除的余数，或者是0，或者是1，现计论k
（1）若3kk1，则由①式知3m2
2，于是，m
都是3的倍数
设m3m1


3
1
，并且
k
k3
1
是整数
由①式有
3m12

3
12

kk13
167
②
于是kk11672mod3，设kk13r2，
3
3
则kk19r6
③
又由①式，kk1501，所以k22故由式③，k可以取37121621，分别代入
k3
k7
k12
k16
k21
②得m12
1255，m12
1251，m12
1241，m12
1229，m12
129
由于55、51都是4N3型的数，不能表为两个平方和，并且9也不能表成两个正整数的
平方和，因此，只有k12与k16时，有正整数解m1
1
当k12时得m1
145则a6m124，b6
130，c2k131
因此abc123031
（2）若3不整数kk1，由于任何三个连续数中必有一个是3的倍数，则k1是3的倍
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数，故k被3除余2，因此k只能取2，5，8，11，14，17，20
利用①分别讨论如下
若k2，则m2
2499，而4993mod4，此时无解
若k5，则m2
2481，利用恒等式r