2x＝2x＋2＋2，则f－＝2－x＋2＋2－＝2＋2＋2x，即f＝f－，所以函数f为偶
函数．
2
f2由题意得函数f的定义域为R因为f＝lg＋x2＋1，所以f－＋f＝lg－＋x2＋1＋
lg＋x2＋1＝lg－＋x2＋1＋x2＋1＝lg1＝0，所以f－＝－f，所以函数f为奇函数．
3由题意得，函数f的定义域为－2，0∪0，2，
4－x2
4－x2
所以＋30，所以f＝x，f－＝－x，f－＝－f，所以函数f是奇函数．
判断函数f＝2＋－a＋1，a∈R，∈R的奇偶性．解析：当a＝0时，f－＝－2＋－＋1＝f，此时f为偶函数；当a≠0时，fa＝a2＋1，f－a＝a2＋2a＋1，fa≠－f－a，fa≠f－a，此时f既不是奇函数，也不是偶函数
考向单调性、奇偶性的综合
－x2＋2x，x0，例2已知函数f＝0，x＝0，是奇函数．
x2＋mx，x0
1求实数m的值；
2若函数f在区间－1，a－2上单调递增，求实数a的取值范围．
解析：1设0，则－0，
所以f－＝－－2＋2－＝－2－2
又f为奇函数，所以－f－＝f，
于是当0时，f＝2＋2＝2＋m，
所以m＝2
2由1知f在－1，1上是增函数，要使f在－1，a－2上单调递增，
a－2－1，
则
所以1a≤3，
a－2≤1，
故实数a的取值范围是1，3．
已知奇函数f的定义域为－2，2，且在区间－2，0上单调递减．若f1－m＋f1－m20，求实数m的取值范围．
－2≤1－m≤2，解析：由f的定义域为－2，2，知－2≤1－m2≤2，解得－1≤m≤3
3
f因为f是奇函数，所以f1－m－f1－m2，即f1－mfm2－1．因为f在－2，0上单调递减，所以f在－2，2上是减函数，所以1－mm2－1，解得－2m1综上所述，实数m的取值范围是－1，1
考向函数的周期性、对称性例3设函数f在R上满足f2－＝f2＋，f7－＝f7＋，且在区间0，7上，只有f1＝f3
＝01试判断函数y＝f的奇偶性；2试求方程f＝0在区间－2018，2018上的根的个数，并证明你的结论．解析：1因为函数f在R上满足f2－＝f2＋，当＝2时，f0＝f4≠0，所以函数f不是奇函数．因为f2－＝f2＋，f7－＝f7＋，所以f－＝f4＋，f－＝f14＋，即f4＋＝f14＋，即f＝f＋10，所以函数f是以10为周期的周期函数，所以f－3＝f－3＋10＝f7≠0，即f－3≠f3，所以函数f不是偶函数．综上，函数f既不是奇函数也不是偶函数．2因为在闭区间0，7上只有f1＝f3＝0，所以f＝0在4，7上无解，则f7－＝0在0，3上无解．因为f7－＝f7＋，所以f7＋在r